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| Aufgabe | Es seien M, N und P Mengen. Zeigen Sie:
(M \ N) \ (M \ P) = M [mm] \cap [/mm] (P \ N) |
Folgendes ist mein Ansatz aber ich bin mir nicht sicher ob ich das so richtig mache.
[mm] x \in [/mm] (M \ N) \ (M \ P)
<=> [mm] (x \in M und x \not\in N) [/mm] \ [mm] (x \in M und x \not\in P) [/mm]
<=> [mm] x \in M [/mm] und (x [mm] \not\in N [/mm] \ [mm] x \not\in P) [/mm]
<=> [mm] x \in M \cap [/mm] ( N \ P )
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien M, N und P Mengen. Zeigen Sie:
>
> (M \ N) \ (M \ P) = M [mm]\cap[/mm] (P \ N)
(edit: korrigiert!)
> Folgendes ist mein Ansatz aber ich bin mir nicht sicher ob
> ich das so richtig mache.
>
> [mm]x \in[/mm] (M \ N) \ (M \ P)
>
> <=> [mm](x \in M und x \not\in N)[/mm] \ [mm](x \in M und x \not\in P)[/mm]
da hört's (leider) schon auf. Du vermischst hier "logische" und "Mengenschreibweisen".
Tipp: Um [mm] $A=B\,$ [/mm] für zwei Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] zu beweisen, kannst Du natürlich
$x [mm] \in [/mm] A$ [mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] B$
beweisen. Per Definitionem kannst Du das auch so machen:
1.) Zeige $A [mm] \subseteq [/mm] B$ (also [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] B$)
2.) Zeige $B [mm] \subseteq [/mm] A$ (also [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] A$)
Beispiel: [mm] $A:=\{x \ge 0: x^2 \ge 4\}\;=\;[2,\infty)$
[/mm]
Beweis: 1.) Sei $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Dann folgt [mm] $x^2 \ge 4\,.$ [/mm] Also $(x+2)*(x-2) [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Da
der Fall, dass simultan $x [mm] \le [/mm] -2$ und $x [mm] \ge [/mm] 2$ gilt, unmöglich ist, muss simultan
$x [mm] \ge [/mm] -2$ und $x [mm] \ge [/mm] 2$ gelten. Also gilt $x [mm] \ge [/mm] 2$ und damit $x [mm] \in [2,\infty)=B\,.$
[/mm]
Da $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig war, folgt [mm] $\forall$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $x [mm] \in B\,,$ [/mm] also $A [mm] \subseteq B\,.$
[/mm]
2.) Sei $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Dann ist $x [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Wegen der Monotonie von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 2$)
ergibt sich damit [mm] $x^2 \ge 2^2=4\,,$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] A$ unter Beachtung, dass mit $x [mm] \ge [/mm] 2$
insbesondere $x [mm] \ge [/mm] 0$ erfüllt ist. Da ... bel., folgt ..., also
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B$ gilt $x [mm] \in A\,,$ [/mm] also $B [mm] \subseteq A\,.$
[/mm]
Bei Deiner Aufgabe fängst Du also an:
1.) Wir zeigen $(M [mm] \setminus [/mm] N) [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] P) [mm] \;\red{\subseteq}\; [/mm] M [mm] \cap [/mm] (P [mm] \setminus N)\,.$ [/mm] Also ... (Jetzt Du!)
2.) Zeige hier nun noch die Teilmengenbeziehung, wenn bei 1.) [mm] $\red{\subseteq}$ [/mm] durch [mm] $\red{\supseteq}$
[/mm]
ersetzt wird.
P.S. Wenn Du Dich ein wenig auskennst (z.B. de Morgan), kannst Du das
auch elegant so rechnen (mit dem "Wissen" $X [mm] \setminus [/mm] Y=X [mm] \cap Y^c$):
[/mm]
$(M [mm] \setminus [/mm] N) [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] P)=(M [mm] \cap N^c) \cap [/mm] (M [mm] \cap P^c)^c=(M \cap N^c) \cap (M^c \cup (P^c)^c)=((M \cap N^c) \cap M^c) \cup [/mm] ((M [mm] \cap N^c) \cap P)=\emptyset \cup [/mm] ((M [mm] \cap N^c) \cap [/mm] P)= M [mm] \cap [/mm] (P [mm] \cap N^c)=M \cap [/mm] (P [mm] \setminus N)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo erstmal Danke für deine Hilfe.
Also das ich zeigen muss das A Teilmenge von B ist und B Teilmenge von A, damit A = B gilt hab ich verstanden. Ich komme allerdings nicht darauf wie ich das bei dieser Aufgabe hier machen soll, obwohl ich schon seit Mittag daran sitze. Hast du da vielleicht noch einen Tipp?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Bei Dir ist
A=(M \ N) \ (M \ P) und B= M $ [mm] \cap [/mm] $ (P \ N)
FRED
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Das weiß ich wofür A und B bei mir steht. Mir ist aber unklar wie ich zeigen soll, das A Teilmenge von B ist und umgekehrt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Das weiß ich wofür A und B bei mir steht. Mir ist aber
> unklar wie ich zeigen soll, das A Teilmenge von B ist und
> umgekehrt.
1. Nimm ein x [mm] \in [/mm] A und zeige: x [mm] \in [/mm] B
2. Nimm ein x [mm] \in [/mm] B und zeige: x [mm] \in [/mm] A
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das weiß ich wofür A und B bei mir steht. Mir ist aber
> unklar wie ich zeigen soll, das A Teilmenge von B ist und
> umgekehrt.
okay, Du bist da vielleicht einfach noch zu ungeübt, daher vielleicht mal ein
etwas ausgeweiteterer Anfang:
Sei $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] N) [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] P)$ beliebig, aber fest. Dann folgt
$x [mm] \in [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] N)$ und $x [mm] \notin [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] P),$
also
$x [mm] \in [/mm] M$ und $x [mm] \notin [/mm] N$ und [mm] $\underbrace{x \notin (M \setminus P)}_{\iff x \in (M \cap P^c)^c}\,.$
[/mm]
Beachtet man $M [mm] \setminus [/mm] P=M [mm] \cap P^c$ [/mm] (s.o.), [mm] ${(P^c)}^c=P$ [/mm] und de Morgan (wo?), so folgt
$x [mm] \in [/mm] M$ und $x [mm] \notin [/mm] N$ und ($x [mm] \in M^c$ [/mm] oder $x [mm] \in P)\,.$
[/mm]
Das ist logisch gleichbedeutend mit
[mm] $\red{(x \in M \wedge x \notin N \wedge x \notin M)} \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] N [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in P)\,.$
[/mm]
Ist das rotmarkierte möglich? (Kann insbesondere $x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] M$ gelten?)
Was bleibt also übrig? Was bedeutet das nun?
Gruß,
Marcel
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