Berechnung von Wurzel(2) in Q_7 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:38 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe mir im Ebbinghaus (Zahlen) mal ein Rechenbeispiel angeschaut, es auch halbwegs verstanden, aber dennoch habe ich eine Frage dazu.
Wir wollen [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] in [mm] $\IQ_7$ [/mm] berechnen.
Dazu betrachten wir für [mm] $\nu \ge [/mm] 1$ die Kongruenzen
[mm] $x^2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7^{\nu}}$.
[/mm]
Für [mm] $\nu$ [/mm] hat die Kongruenz die Lösungen
(1) [mm] $x_0 \equiv \pm [/mm] 3 [mm] \pmod{7}$.
[/mm]
Sei [mm] $\nu [/mm] =2$. Aus
(2) [mm] $x^2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7^2}$ [/mm]
folgt:
[mm] $x^2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7}$,
[/mm]
so dass eine Lösung von (2) die Form [mm] $\pm [/mm] 3 + [mm] 7t_1$ [/mm] haben muss.
Setzen wir [mm] $x_1 [/mm] = 3 + [mm] 7t_1$ [/mm] in (2) ein, so erhalten wir:
$(3 + [mm] 7t_1)^2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7^2}$
[/mm]
$9 + 6 [mm] \cdot 7t_1 [/mm] + [mm] 7^2t_1^2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7^2}$
[/mm]
[mm] $7(1+6t_1) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{7^2}$
[/mm]
[mm] $1+6t_1 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{7}$
[/mm]
[mm] $t_1 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{7}$.
[/mm]
Wir erhalten also für [mm] $x^2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7^2}$ [/mm] die Lösung
[mm] $x_1 \equiv [/mm] 3 + 1 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \pmod{7^2}$.
[/mm]
Für [mm] $\nu [/mm] = 3$ findet man mit dem Ansatz [mm] $x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + [mm] 7^2t_2$ [/mm] den Wert
[mm] $t_2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7^3}$,
[/mm]
also für [mm] $x^2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{7^3}$ [/mm] die Lösung
[mm] $x_2 \equiv [/mm] 3 + 1 [mm] \cdot [/mm] 7 + 2 [mm] \cdot 7^2 \pmod{7^3}$.
[/mm]
Bin dahin ist mir alles klar.  (War ja auch nahezu trivial, insofern keine große Kunst.)
Nun aber steht da:
Man sieht leicht, dass sich dieser Prozess bis ins Unendliche fortsetzen lässt, so dass man eine $7$-adische Lösung
$x = 3 + 1 [mm] \cdot [/mm] 7 + 2 [mm] \cdot 7^2 [/mm] + [mm] \ldots \in \IZ_7$
[/mm]
der Gleichung [mm] $x^2 [/mm] = 2$ erhält.
Also ich sehe es nicht "leicht". Kann mir das jemand erklären?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Bemerkung:
Da mein Computer zu Hause defekt ist, kann ich voraussichtlich erst wieder am Montag hier hereinschauen.
Also nicht sauer sein, wenn ich nicht reagiere. 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
Wieso schreibst du eigentlich so gerne "war ja auch trivial"? Wenn dir das obige trivial erscheint, dann ist das untere auch leicht zu sehen. Für mich klingt das erstmal so, als ob du es nicht trivial fandest, sondern einfach sehr gut nachvollziehen konntest.
Rechne für ein paar weitere Werte von [mm] \nu [/mm] die nächsten Werte aus. Du kannst dann ein Schema erkennen, welches du abstrahierst:
Sei p [mm] \neq [/mm] 2 und a [mm] \in \IZ_p [/mm] mit [mm] |a|_p [/mm] = 1. Gegeben sei ein x [mm] \in \IZ_p [/mm] mit [mm] x^2 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{p^{\nu}} [/mm] für ein [mm] \nu \geq [/mm] 1.
Zu finden ist ein y [mm] \in \IZ_p [/mm] mit [mm] y^2 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{p^{\nu+1}} [/mm] und y [mm] \equiv [/mm] x [mm] \pmod{p^\nu}.
[/mm]
Den Ansatz solltest du jetzt selbst finden. Beachte, dass du modulo p rechnen kannst wie mit gewöhnlichen ganzen Zahlen.
Du beweist damit einen Spezialfall von Hensels Lemma und verwendest dabei das Newton-Verfahren. ;)
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Alex!
Nun, ich weiß, dass das Wort "trivial" ab und zu provozierenden Charakter hat (den ich dabei wirklich nicht beabsichtige), daher nehme ich dieses Wort zurück und nenne den Ansatz jetzt mal "sehr naheliegend". Zumindestens hätte man ja selber auch so angesetzt, wenn man eine Wurzel in [mm] $\IQ_p$ [/mm] bestimmen will (denn wie sollte man auch anders ansetzen?).
Zur Klarstellung: Das Verfahren (bis auf die Tatsache, dass das Newton-Verfahren dahintersteckt) war mir also auch vorher schon klar, daher war meine Frage falsch gestellt. Ich dachte, und das war mein Missverständnis, es sei "leicht zu sehen", wie die Ziffernfolge konkret weitergeht, aber darum ging es ja gar nicht, wenn ich deine Antwort richtig verstehe. Es ging ja nur um das Verfahren, und wie das weitergeht (und wie man das in dem von dir beschriebenen Sinne verallgemeinern kann), ist ja in der Tat leicht zu sehen. Von daher hatte ich nur den Text in dem Lehrbuch falsch interpretiert.
Also, tut mir leid, dass ich unnötigerweise deine Zeit in Anspruch genommen habe. Vielen Dank trotzdem für deine Antwort.
Das Hensel-Lemma kenne ich übrigens aus anderem Zusammenhang (aus einer Vorlesung zur komplexen Analysis mehrerer Veränderlicher).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 17.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
alles klar. Da die Ziffernfolge nichtperiodisch ist (schließlich ist die Zahl irrational), hat man schlechte Chancen, ein Muster für die Ziffernfolge anzugeben.
Verschwendet ist unsere Zeit nicht, denn deine Frage regte uns an, diesen Beweis zu durchdenken. Immerhin ist es ein Spezialfall, an dem man die Beweisidee für den allgemeinen Fall deutlich ablesen kann.
> Das Hensel-Lemma kenne ich übrigens aus anderem
> Zusammenhang (aus einer Vorlesung zur komplexen Analysis
> mehrerer Veränderlicher).
Das musst du mir bei Gelegenheit erklären.
Gruss,
SirJective
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