Berechnung von e < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Sa 21.01.2006 | | Autor: | brini87 |
| Aufgabe | | [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \ln \left(1+ \bruch{1}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \ln \left(\limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+ \bruch{1}{n}\right)^n\right) [/mm] = 1$ |
Ich muss in einem Referat die Zahl e auf mehrere Dezimalstellen genau berechnen. Ich verstehe alles bis auf den oben angegeben Schritt. In meinem Buch stehe, dass ich "ln" vor den limes stellen kann, weil ln stetig ist. Ich weiß zwar, dass ln stetig ist aber warum ich ln deshalb einfach nach vorne stellen darf ist mir nicht klar...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Brini,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Was bedeutet denn Stetigkeit? Eine Funktion ist stetig im Punkt $a$ falls:
$ [mm] \limes_{x \rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a)$, was gleichbedeutend ist mit:
Für jede Folge [mm] $a_n$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a$ [/mm] gilt: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f(a)$.
Hier hast du nun:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n=e$
[/mm]
und da [mm] $\ln$ [/mm] stetig ist folgt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \ln ((1+\bruch{1}{n})^n)= \ln [/mm] e$
Du nutzt also einfach nur die Definition von Stetigkeit aus!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 24.01.2006 | | Autor: | brini87 |
danke für deinen tipp! leider hat er meine frage nicht ganz beantwortet. ich wollte eigentlich wissen warum man das ln auf einmal vor den limes stellen kann. nicht warum man vor lim und vor e ln schreiben kann.
danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 24.01.2006 | | Autor: | bjochen |
Ich denke eigentlich das Astrids Lösung deine Frage beantwortet aber vllt kann ich es mal mit einem wirklich sehr einfachen Beispiel klar machen.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ln (1+ \bruch{1}{n})^{n}[/mm]
Nehmen wir mal ein anderes Beispiel.
Also sowohl ln als auch 3 sind stetig richtig?
Nehmen wir zb.:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 3 * (1+ \bruch{1}{n})^{n}[/mm]
Dann könnte man doch auch:
[mm]3 * \limes_{n\rightarrow\infty} (1+ \bruch{1}{n})^{n}[/mm]
schreiben oder?
Denn ob du erst mal 3 rechnest und dann den Grenzwert bildest oder erst den Grenzwert bildest und dann mal 3 rechnest ist doch völlig irrelevant oder?
Das gleiche gilt dann auch für ln.
Hoffe mal es war richtig...^^
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