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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:05 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,\hdots,X_n$ [/mm] unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F, F stetig, [mm] $Q_p:=F^{-1}(p)$.
[/mm]
(1) Berechnen Sie für $n=20$: [mm] $P(X_{(3)}\leq Q_{0,25}\leq X_{(7)})$
[/mm]
(2) Bestimmen Sie für $n=40$ [mm] $r,s,1\leq r
[mm] $P(X_{(r)}\leq Q_{0,3}\leq X_{(s)})\geq [/mm] 0,95$
(3) Bestimmen Sie das kleinste n derart, daß [mm] $P(X_{(1)}\leq Q_{0,5}\leq X_{(n)})\geq [/mm] 0,99$$
(4) Bestimmen Sie für $n=30$ das kleinste k derart, daß [mm] $P([X_{(\frac{n}{2}-k)},X_{(\frac{n}{2}+k)}])$ [/mm] ein verteilungsfreies Konfidenzintervall für den Median mit Überdeckungswahrscheinlichkeit 95 % ist. |
[mm] \textit{Ich habe, wie ihr merkt, immer genug Fragen.} [/mm] 
Also bei (1) habe ich keine Probleme das auszurechnen.
Hier gilt doch, wenn $n=20$ ist:
[mm] $P(X_{(3)}\leq Q_{0,25}\leq X_{(7)})=\sum_{k=3}^{6}\binom{20}{k}0,25^{k}0,75^{20-k}=0,695$ [/mm] (Korrekt?)
Bei (2) fangen dann meine Schwierigkeiten an.
Klar ist wieder, wenn $n=40$:
[mm] $P(X_{(r)}\leq Q_{0,3}\leq X_{(s)})=\sum_{k=r}^{s-1}\binom{40}{k}0,3^{k}0,7^{n-k}$
[/mm]
Dies soll jetzt [mm] $\geq [/mm] 0,95$ sein.
Aber was soll ich denn jetzt eigentlich errechnen? Und wie?
[mm] \textbf{Edit zu (3)}
[/mm]
Okay, das dürfte ich auch hinbekommen haben:
[mm] $P(X_{(1)}\leq Q_{0,5}\leq X_{(n)}=\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}0,5^{k}0,5^{n-k}=0,5^{n}\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}$
[/mm]
Da nun [mm] $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ [/mm] forme ich um:
[mm] $\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}-2=2^n-2$
[/mm]
Also rechne ich:
[mm] $0,5^{n}\cdot(2^{n}-2)\geq 0,99\Leftrightarrow [/mm] n=8$
Antwort: n=8. (Korrekt?)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:23 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Hallo, ich habe mir für Aufgabe (2) Folgendes überlegt.
Vorweg: Ich komme darauf, daß man
$s=18$ und $r=6$ wählen sollte.
Und zwar so:
[mm] $P(X_{(r)}\leq Q_{0,3}\leq X_{(s)})=\sum_{i=r}^{s-1}\binom{40}{i}0,3^{i}0,7^{40-i}$
[/mm]
Dies approximiere ich durch die Normalverteilung, wobei [mm] $\mu=40\cdot [/mm] 0,3=12, [mm] \sigma=\sqrt{40\cdot 0,3\cdot 0,7}=\sqrt{8,4}$
[/mm]
Dann geht es oben weiter mit:
[mm] $\approx \Phi\left(\frac{s-1+0,5-12}{\sqrt{8,4}}\right)-\Phi\left(\frac{r-0,5-12}{\sqrt{8,4}}\right)$
[/mm]
Nun hab ich ein bisschen rumgetüftelt und habe mir Folgendes gedacht:
Es ist ja nun (laut Tabelle für Standardnormalverteilung):
[mm] $\Phi(1,65)=0,95053$, [/mm] also habe ich mir gedacht, muss $s=17,2822$, d.h. 17 oder 18 sein, damit das heraus kommt.
Ich habe dann jeweils $s=17$ und $s=18$ hergenommen und jeweils ausgerechnet, was sich für $r=1, r=2,...$ ergibt und das beste rechnerische Ergebnis (bei kleinstem s-r) lieferte die Kombination $s=18$ und $r=6$, nämlich ergibt sich für diese Werte:
[mm] $\Phi(1,9)-\Phi(-2,24)=0,97128-0,01255=0,95873$
[/mm]
Meine Lösung lautet also:
Wähle $s=18$ und $r=6$.
Ist das korrekt?
Wenn ja: Sind auch andere Lösungen möglich? (nur interessehalber)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Sicher sind auch andere Lösungen denkbar.
(Sofern meine Lösung überhaupt korrekt ist. )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich würde mich immer noch sehr über ein Feedback freuen.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:16 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Hallo, ich hab nochmal versucht, es besser begründet und klarer aufzuschreiben, damit ihr mir besser helfen könnt.
Also mein Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe (2):
[mm] $P(X_{(r)}\leq Q_{0,3}\leq X_{(s)})=\sum_{i=r}^{s-1}\binom{40}{i}0,3^{i}0,7^{40-i}$
[/mm]
[mm] $\approx \underbrace{\Phi\left(\frac{s-1+0,5-12}{\sqrt{8,4}}\right)}_{=:A_s}-\underbrace{\Phi\left(\frac{r-0,5-12}{\sqrt{8,4}}\right)}_{=:B_r}\geq [/mm] 0,95$
[mm] ($\mu=40\cdot 0,3=12,\sigma=\sqrt{40\cdot 0,3\cdot 0,7}=\sqrt{8,4}$)\\
[/mm]
Es gilt (s. Tabellierung für Standardnormalverteilung):
[mm] $A_s=0,95053\Leftrightarrow [/mm] s=17,2822$
Da für $s$ nur ganzzahlige Werte sinnvoll sind, kommt nur $s=17$ oder $s=18$ in Frage.
Für $s=17$ ergibt sich:
[mm] $A_{17}=\Phi(1,55)=0,93943$
[/mm]
Und für $s=18$ ergibt sich:
[mm] $A_{18}=\Phi(1,9)=0,97128$
[/mm]
Da am Ende ein Wert herauskommen soll, der [mm] $\geq [/mm] 0,95$ sein soll, kommt nur $s=18$ in Frage, da [mm] $B_r\geq 0~\forall~1\leq [/mm] r<s$ und somit [mm] $A_{17}-B_{r}<0,95~\forall~1\leq [/mm] r<s$.
Es muss nun ein [mm] $1\leq r\leq [/mm] 17$ gefunden werden, sodaß [mm] $A_{18}-B_{r}\geq [/mm] 0,95$ und $18-r$ minimal. Dies ist der Fall für $r=6$:
[mm] $A_{18}-B_{6}=0,95873~\wedge~s-r=12$
[/mm]
(Für $r<6$ gilt [mm] $A_{18}-B{r}\geq [/mm] 0,95$, jedoch $s-r>12$. Für $r>6$ gilt [mm] $A_{18}-B{r}<0,95$.)
[/mm]
Ergebnis: s=18, r=6
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ihr schweigt so, als wäre das total verkehrt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 So 06.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Okay, es möchte niemand, schade, aber muss ich akzeptieren.
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 11:57 So 06.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielleicht bekomme ich zu (4) eine Antwort.
Meine Idee:
[mm] $P(X_{(15-k)}\leq Q_{0,5}\leq X_{(15+k)})=\sum_{i=15-k}^{15+k-1}\binom{30}{i}0,5^{i}0,5^{30-i}=0,5^{30}\sum_{i=15-k}^{15+k-1}\binom{30}{i}\geq [/mm] 0,95 [mm] \leftrightarrow \sum_{i=15-k}^{15+k-1}\binom{30}{i}\geq 1020050000$
Wie kann man das jetzt schön nach k auflösen?
Durch Ausprobieren (nicht gerade sehr schön...) habe ich k=6 ermittelt:
$\sum_{9}^{20}\binom{30}{i}=1042120800$
Dann ergibt sich insgesamt 0,970551
Für $k=5$ ergibt sich 0,920244 (zu klein)
Und für $k=7$ ergibt sich 0,989326$ (also k nicht minimal).
Ich hoffe, ich liege richtig.
Und noch eine Frage:
Wieso heißt es denn in der Aufgabenstellung, daß $P([X_{(\frac{n}{2}-k)},X_{(\frac{n}{2}+k)}])$ ein Konfidenzintervall sein soll - müsste das nicht lauten, daß $[X_{(\frac{n}{2}-k)},X_{(\frac{n}{2}+k)}]$ ein Konfidenzintervall sein soll?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 07.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 So 06.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 So 06.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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