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Berechung von Sup und Inf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Sa 15.10.2016
Autor: Sito.

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Es seien $A,B\subset \mathbb{R}$ beschränkte, nicht-leere Teilmengen. Definieren Sie für $x\in \mathbb{R}$

$D(x,A)=\inf\{|x-y|:y\in A\}$

$Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x\in B\}$

$P(A,B)=\max\{Q(A,B),Q(B,A)\}$

Interpretieren Sie die Zahlen $P(x,A), Q(A,B) und P(A,B)$

Die Aussage von $D(x,A)$ verstehe ich soweit, nur weiss ich nicht wie ich nun mit $Q(A,B)$ umgehen soll...

Kann man also für $Q$ sagen:

$Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x \in B\} = \sup\{\inf{|x-y|: y\in A \land x\in B\}$,


mir ist nicht ganz klar wie ich das interpretieren sollte?

Oder ist das auch falsch? und es sollte eigentlich heissen:

$Q(A,B)= \sup\{|x-y| : y \in A \land x \in B\}$

Das bedeutet also, dass der Abstand von x und y maximal sein soll? Man weiss ja aber nichts über die Beziehung zwischen $A$ und $B$, es lässt sich also auch schlecht eine Aussage über die Menge $Q$ machen, oder?

Oder kann man vlt. so etwas sagen wie: Der Abstand ist dann maximal, wenn $|\inf(B)-\sup(A)|$ rechnet, falls die Menge B "weiter links" auf der Zahlengerade von $\mathbb{R}$ ist? (falls hier jemand ein besseres Wort für weiter links hat, würde mich das natürlich auch interessieren...)

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Berechnen-von-Infima-und-Suprema

        
Bezug
Berechung von Sup und Inf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Sa 15.10.2016
Autor: hippias

[willkommenvh]

Eine Interpretationsaufgabe ist ja immer etwas unmathematisch...

> Es seien [mm]A,B\subset \mathbb{R}[/mm] beschränkte, nicht-leere
> Teilmengen. Definieren Sie für [mm]x\in \mathbb{R}[/mm]
>  
> [mm]D(x,A)=\inf\{|x-y|:y\in A\}[/mm]
>  
> [mm]Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x\in B\}[/mm]
>  
> [mm]P(A,B)=\max\{Q(A,B),Q(B,A)\}[/mm]
>  
> Interpretieren Sie die Zahlen [mm]P(x,A), Q(A,B) und P(A,B)[/mm]
>  
> Die Aussage von [mm]D(x,A)[/mm] verstehe ich soweit, nur weiss ich

Vielleicht kannst Du $D(x,A)$ einmal in Worten formulieren...

> nicht wie ich nun mit [mm]Q(A,B)[/mm] umgehen soll...
>  
> Kann man also für [mm]Q[/mm] sagen:
>  
> [mm]Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x \in B\} = \sup\{\inf{|x-y|: y\in A \land x\in B\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

,

>  

Obacht: es muss klar werden, über welche Menge Infimum und Supremum zu bilden sind, daher wäre besser $Q(A,B)=\sup\{D(x,A):x \in B\} = \sup_{x\in B}\{\inf{|x-y|: y\in A\}= \sup_{x\in B}\inf_{y\in A} |x-y|$ etc.

>
> mir ist nicht ganz klar wie ich das interpretieren sollte?
>  
> Oder ist das auch falsch? und es sollte eigentlich
> heissen:
>  
> [mm]Q(A,B)= \sup\{|x-y| : y \in A \land x \in B\}[/mm]
>  

Das ist i.a. nicht das, was in der Definition von $Q(A,B)$ steht.

> Das bedeutet also, dass der Abstand von x und y maximal
> sein soll? Man weiss ja aber nichts über die Beziehung
> zwischen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm], es lässt sich also auch schlecht eine
> Aussage über die Menge [mm]Q[/mm] machen, oder?
>  
> Oder kann man vlt. so etwas sagen wie: Der Abstand ist dann
> maximal, wenn [mm]|\inf(B)-\sup(A)|[/mm] rechnet, falls die Menge B
> "weiter links" auf der Zahlengerade von [mm]\mathbb{R}[/mm] ist?
> (falls hier jemand ein besseres Wort für weiter links hat,
> würde mich das natürlich auch interessieren...)

Versuche die Ausdrücke in Worte zu fassen: salopp formuliert ist $D(x,A)$ der kleinste Abstand zwischen den Elementen von $A$ und $x$, also so etwas wie "der Abstand von $A$ zu $x$". Eine Skizze könnte auch helfen, wobei diese vielleicht auch in [mm] $\IR^{2}$ [/mm] versuchen würde.

>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Berechnen-von-Infima-und-Suprema


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