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Hallo
ich grüble schon ne Weile, wie man vorgeht um ein Bereichsintegral zu berechnen.
Das prinzipielle Vorgehen ist ja klar, aber mir ist nur nich bewusst, nach was man zu erst integriert, y x oder z
z.B.
f(x,y)=x+y²
[mm] \integral \integral_B [/mm] f(x,y)db
B wird durch x=y²/4 und y=2x-12 begrenzt
wie soll ich jetzt die Bereichsgrenzen für das Integral wählen?
erst nach x integrieren oder erst nach y?
gibts da irgendwie ein Kriterium, wie man das unterscheidet
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Hallo!
Nun, hier hängt die eine grenze ja von der anderen ab, von daher kannst du nicht einfach so integrieren.
Zeichne die beiden Funktionen doch mal, dann siehst du dein Integraktionsgebiet.
Und zwar ist das eine Parabel, die auf der Seite liegt, und eine Grade, die diese Parabel schneidet.
Die Schnittpunkte sind sowas wie (4; -4) und (9; 6) (grob geschätzt)
Jetzt entscheidest du dich für eine Achse, die du integrieren willst.
Dein Integrationsbereich geht in x-Richtung von 0 bis 9. Dann kannst du ausrechnen, von wo bis wo dein y an einer bestimmten x-Stelle geht. Dummerweise fürht das zu einer Fallunterscheidung, denn die untere Grenze wird bis x=0 von der Parabel, und danach von der graden bestimmt.
Es ist besser, wenn du es umgekehrt machst: y geht von -4 bis +6. Die untere (linke) grenze von x wird dann durch die Parabel bestimmt, und die obere durch die Grade.
Die Funktion, die dir die untere Grenze von x zu einem bestimmten y angibt, hast du ja schon, das ist x=y²/4.
Die Funktion, die dir die entsprechende Obergrenze angibt, ist die Umkehrfunktion von der Graden, also x=y/2+6
Jetzt kannst du integrieren:
[mm] $\integral_{y=-4}^{+6}\ [/mm] \ \ \ [mm] \integral_{x=y/2+6}^{y^2/4}...$
[/mm]
Integriert wird nun zuerst über x. Das Einsetzen der Grenzen bringt dann weitere y's mit da rein, und dann kannst du über y integrieren.
Andersrum gehts eben nicht, weil dann das Einsetzen der x-grenzen y's reinkommen, die du nicht weg bekommst.
Also, das mag erstmal verwirrend sein, aber an einer Zeichnung sollte das klar werden.
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