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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mi 02.06.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] I=\int_{V}\frac{1}{(x+y+z+1)^{3}}dxdydz, [/mm] wenn V das von den Ebenen x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 eingeschlossene Tetraeder ist. |
Hallo,
ich habe ein Ergebnis angegeben: Herauskommen soll [mm] I=\frac{1}{2}\mbox{ln}2-\frac{5}{16}.
[/mm]
Mein Problem sind natürlich die Integralgrenzen. Ich habe zunächst ausgerechnet: [mm] I=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{0}^{1-y}\frac{1}{(x+y+z)^{3}}dz, [/mm] aber da kommt nie das raus, was rauskommen soll. Welche Grenzen habe ich also warum falsch gewählt bzw. wie muss ich anders machen?
Gruß Unk
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Hallo Unk,
Deine Notation ist unüblich. 
Dazu sind die Grenzen in der Tat nicht richtig gewählt.
Es ist hier wegen der Symmetrie sowohl der Funktion als auch des Integrationsbereichs egal, in welcher Reihenfolge Du vorgehst. Nehmen wir einfach die Reihenfolge x,y,z.
Wir fangen von außen an; da steht nun also (siehe Verabredung oben) x:
[mm] \int_0^1{\cdots dx}
[/mm]
Die nächste "Schicht" ist y (wieder: s.o.), hier in blau:
[mm] \int_0^1{\blue{\int_0^{1-x}{\cdots dy}}\ dx}
[/mm]
Und schließlich steht innen z, hier grün:
[mm] \int_0^1{\blue{\int_0^{1-x}}{\green{\int_0^{1-x-y}{\bruch{1}{(x+y+z+1)^3}}\ dz}\ \blue{dy}}\ dx}
[/mm]
Und, stimmts?
Den Begriff "Tetraeder" finde ich übrigens fragwürdig, es sei denn, damit wären tatsächlich andere Achsenrichtungen als die kartesischen angegeben.
Um ehrlich zu sein, habe ich es aber gar nicht nachgerechnet. Das wäre ja auch eher Dein Job... 
Grüße
reverend
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Hallo Unk,
das sieht doch schon ziemlich gut aus. Bis auf zwei Flüchtigkeitsfehler, von denen einer wahrscheinlich nur ein Bearbeitungs-/Schreibfehler ist und auch bedeutungslos bleibt, stimmt alles:
> > Den Begriff "Tetraeder" finde ich übrigens fragwürdig, es
> > sei denn, damit wären tatsächlich andere Achsenrichtungen
> > als die kartesischen angegeben.
>
> Naja kommt vielleicht drauf an, welche Achse man wie nennt.
> Hier soll x quasi die Diagonale sein und damit ist es dann
> schon ein Tetraeder.
...aber nicht mit gleichen Kantenlängen. Die sind eigentlich die große Gemeinsamkeit der fünf platonischen Körper...
> > Um ehrlich zu sein, habe ich es aber gar nicht
> > nachgerechnet.
>
> Das habe ich in der Tat mal gemacht und irgendwie komme ich
> nie auf das was rauskommen soll.
Aber Du bist doch nah dran. Die Form stimmt, die Größenordung auch, also ist wahrscheinlich nur irgendwo ein kleiner Fehler.
> Vielleicht habe ich
> irgendwo etwas übersehen oder falsch integriert. Immerhin
> kommt mein Ergebnis dem ganzen schon recht nahe. Hier mal
> meine Rechnung:
>
> [mm]\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}\frac{1}{(x+y+z+1)^{3}}dzdydx= [/mm]
[mm] =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\left[-\frac{1}{2(x+y+z+1)^{2}}\right]_{0}^{1-x-y}dy [/mm] dz [mm] \green{dx}= [/mm]
[mm] =-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{(x+y+1)^{2}}\right)dy [/mm] dz [mm] \green{dx}= [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (bis auf das korrigierte Differential natürlich)
> [mm]=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{4}y+\frac{1}{x+y+1}\right]_{0}^{1-x}[/mm] dz [mm] \green{dx} [/mm]
>
> [mm]=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{4}(1-x)+\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}\right)[/mm] dz [mm] \green{dx} [/mm]
> [mm][mm] =-\frac{1}{2}\left[\frac{3}{4}x-\green{\bruch{1}{4}*}\frac{1}{2}x^{2}\green{\cdots}\right]\cdots [/mm]
Aha. Der grüne Faktor fehlte beim Ausmultiplizieren.
Jetzt besser?
Grüße
reverend
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