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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 12.07.2013 | | Autor: | martinii |
| Aufgabe | | Faktorisieren Sie mit Hilde des Berlekamp-Algorithmus das Polynom [mm] f(x)=x^3+2x^2+x+1, f\in\IF_{5}[x] [/mm] in irreduzible Faktoren. |
Hallo zusammen,
ich habe zu dieser Aufgabe eine Frage.
Also das Berechnen der Matrix ist kein Problem.
Für diese Aufgabe lautet die Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Weiter soll
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \pmat{b_{0}\\b_{1}\\b_{2}}=\pmat{0\\0\\0}
[/mm]
sein.
GLS gelöst --> [mm] b_{1} [/mm] = [mm] 3b_{2}.
[/mm]
Soweit so gut. Wenn jetzt [mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{2}= b_{3}=0 [/mm] gewesen wäre, dann hätte man sagen können f ist in [mm] \IF_{5}[x [/mm] irreduzibel. Das ist ja hier nicht der Fall.
Ich weiß jetzt aber nicht wie ich hier weiter machen soll. Im skript steht man solle ein nicht konstantes Polynom wählen welches im Kern liegt. Wie soll das Polynom aber aussehen? Ich weiß nicht so recht, wie ich darauf komme. Ebenso muss auch ein [mm] \alpha \in\IF_{5}[x] [/mm] gewählt werden um damit dann den ggt [mm] (f,g-\alpha) [/mm] zu berechnen. [mm] \alpha [/mm] kann doch dann nur 0,1,2,3,4 sein oder?
Vielleicht kann mir ja jemand von euch weiterhelfen 
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Sa 13.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Faktorisieren Sie mit Hilde des Berlekamp-Algorithmus das
> Polynom [mm]f(x)=x^3+2x^2+x+1, f\in\IF_{5}[x][/mm] in irreduzible
> Faktoren.
>
> Hallo zusammen,
> ich habe zu dieser Aufgabe eine Frage.
> Also das Berechnen der Matrix ist kein Problem.
> Für diese Aufgabe lautet die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Diese Matrix entspricht ja einer linearen Abbildung, die Polynome auf irgend etwas abbildet. Du solltest herausfinden, welche Basis des Polynomrings verwendet wird, damit du Elemente aus dem Kern als Polynom schreiben kannst.
> Weiter soll
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm] *
> [mm]\pmat{b_{0}\\b_{1}\\b_{2}}=\pmat{0\\0\\0}[/mm]
>
> sein.
> GLS gelöst --> [mm]b_{1}[/mm] = [mm]3b_{2}.[/mm]
>
> Soweit so gut. Wenn jetzt [mm]b_{1}[/mm] = [mm]b_{2}= b_{3}=0[/mm] gewesen
> wäre, dann hätte man sagen können f ist in [mm]\IF_{5}[x[/mm]
> irreduzibel. Das ist ja hier nicht der Fall.
>
> Ich weiß jetzt aber nicht wie ich hier weiter machen soll.
> Im skript steht man solle ein nicht konstantes Polynom
> wählen welches im Kern liegt. Wie soll das Polynom aber
> aussehen? Ich weiß nicht so recht, wie ich darauf komme.
Wie ich oben schrieb: du musst herausfinden, welche Basis des Polynomrings (bzw. welches Polynomrings - vermutlich Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$?) verwendet wurde. Damit kannst du dann Elemente aus dem Kern als Polynom hinschreiben.
> Ebenso muss auch ein [mm]\alpha \in\IF_{5}[x][/mm] gewählt werden
> um damit dann den ggt [mm](f,g-\alpha)[/mm] zu berechnen. [mm]\alpha[/mm]
> kann doch dann nur 0,1,2,3,4 sein oder?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 15.07.2013 | | Autor: | martinii |
Hallo Felix,
zunächst einmal danke für deine Antwort.
Allerdings Blicke ich immer noch nicht so durch.
Ich weiß, dass wir hier als nicht konstantes Polynom [mm] x^2+3x [/mm] gewählt haben. Aber weiß nicht so recht warum.
Hätte ich nicht auch zum Beipsiel [mm] x^2+x [/mm] nehmen können.
Wie bestimme ich denn hiervon die Basis? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Di 16.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
hast du schon herausgefunden, bezueglich welchen Basen die Matrix aufgestellt wurde? Das ist hier absolut essentiell!
> Allerdings Blicke ich immer noch nicht so durch.
> Ich weiß, dass wir hier als nicht konstantes Polynom
> [mm]x^2+3x[/mm] gewählt haben. Aber weiß nicht so recht warum.
Weil es im Kern der zugehoerigen linearen Abbildung liegt. Ganz im Gegensatz zu [mm] $x^2 [/mm] + x$.
Ich vermute jetzt mal, dass die Basis [mm] $x^0, x^1, x^2$ [/mm] ist. Damit entspricht ein Vektor [mm] $\pmat{ b_0 \\ b_1 \\ b_2 }$ [/mm] dem Polynom [mm] $b_0 x^0 [/mm] + [mm] b_1 x^1 [/mm] + [mm] b_2 x^2$. [/mm] Und wenn der Kern bzgl. der Basis durch die Gleichung [mm] $b_1 [/mm] = 3 [mm] b_2$ [/mm] gegeben ist, dann sind im Kern gerade alle Polynome der Form $3 [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \lambda x^2$, $\lambda \in \IF_5$. [/mm] Insbesondere ist $3 x + [mm] x^2$ [/mm] von dieser Form, $x + [mm] x^2$ [/mm] dagegen nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 18.07.2013 | | Autor: | martinii |
Ok. Das habe ich eigentlich verstanden.
Ich habe dann eine andere Aufgabe nachgerechnet. Der erste Teil war wieder kein Problem.
[mm] f=x^4+2 \in \IF_{3}
[/mm]
Als Basen haben wir [mm] x^0, x^1, x^2, x^3 [/mm] genommen
Matrix ist [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 }
[/mm]
Weiter soll ja folgendes berechnet werden:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ b_1 \\ b_2 \\ b_3 } [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
--> [mm] b_1 [/mm] = [mm] b_3.
[/mm]
Dann hätte ich jetzt gesagt dass mein Polynom bzgl. des Kerns so aussieht: [mm] x+x^3. [/mm]
Nun wurde bei der Aufgabe aber auch mit dem Polynom [mm] x+x^2+x^3 [/mm] oder [mm] x+2x^2+x^3 [/mm] gerechnet. Warum hier die [mm] x^2 [/mm] oder [mm] 2x^2? [/mm] Mein [mm] b_2 [/mm] ist ja beliebig. Folgt das daraus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Fr 19.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok. Das habe ich eigentlich verstanden.
>
> Ich habe dann eine andere Aufgabe nachgerechnet. Der erste
> Teil war wieder kein Problem.
>
> [mm]f=x^4+2 \in \IF_{3}[/mm]
> Als Basen haben wir [mm]x^0, x^1, x^2, x^3[/mm]
> genommen
>
> Matrix ist [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 }[/mm]
>
>
> Weiter soll ja folgendes berechnet werden:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ b_1 \\ b_2 \\ b_3 }[/mm] = [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
Da fehlen dir aber ein paar Eintraege bei den Vektoren!
> --> [mm]b_1[/mm] = [mm]b_3.[/mm]
Da hat's aber noch mehr Bedingungen! Der Kern ist dreidimensional!
(Das ist uebrigens Stoff aus der linaren Algebra 1.)
> Dann hätte ich jetzt gesagt dass mein Polynom bzgl. des
> Kerns so aussieht: [mm]x+x^3.[/mm]
Das ist ein moegliches Polynom aus dem Kern.
> Nun wurde bei der Aufgabe aber auch mit dem Polynom
> [mm]x+x^2+x^3[/mm] oder [mm]x+2x^2+x^3[/mm] gerechnet. Warum hier die [mm]x^2[/mm]
> oder [mm]2x^2?[/mm] Mein [mm]b_2[/mm] ist ja beliebig. Folgt das daraus?
Ja. (Das hast du oben allerdings nicht geschrieben.)
Berechne eine Basis vom Kern. Alles was sich als Linearkombination dieser Basis schreiben laesst und nicht konstant ist (als Polynom aufgefasst!) kommt in Frage.
LG Felix
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