Bernoulli-Experiment Formel < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Also es geht um die Formel [mm] P=n!/(k!*(n-k)!)*p^k*(1-p)^{n-k}, [/mm] mit der man die Wahrscheinlichkeit beim Bernoulli-Experiment ausrechnen kann. Der Teil nach n!/(k!*(n-k)!) ist verständlich, jedoch verstehe ich nicht, warum man damit die Anzahl der Trefferpfade berrechnen kann.
Wir hatten in Mathe die Formel n!/(n-k)!, aber weiß ich auch nicht, wofür diese dient.
Als Beispiel: ist n=5 und k=2, so ist das Ergebnis dieser Formel 20, ist k=3, so ist es 60, bei n!/(k!*(n-k)!) ist es bei beiden 10, also die Anzahl der Trefferpfade. Aber was bedeuten 20 und 60?
Und warum kommt bei n!/(n-k)! k!-mal die Anzahl der Trefferpfade heraus?
Konkret brauche ich den Beleg, warum man die Fakultät der Anzahl der Wiederholung des selben Versuches durch das Produkt aus der Fakultät der Anzahl der Gewünschten und der Fakultät von der Anzahl der Wiederholung minus der der Gewünschten teilt, um die Anzahl der Trefferpfade zu erhalten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 So 10.09.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Salamance,
in Deiner Aufgabe, dem Bernoulli-Experiment, treffen sich Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik. Ein Bernoulli-Experiment ist so definiert, dass es zwei mögliche Ergebnisse als Ausgang des Experimentes gibt und diese beiden Ergebnisse sich gegenseitig ausschließen, also nicht die Beschreibung des einen Ergebnisses teilweise sich mit der Beschreibung des zweiten Ergebnisses deckt. Schöne Beispiele hierfür sind das Werfen einer Münze, wobei Kopf oder Zahl die beiden Ergebnisse sind oder die Abfahrt eines Zuges, der entweder pünktlich abfährt oder verspätet etc.
Bisher haben wir nur vom Ausführen eines Experimentes gesprochen, jetzt kann man aber dieses Experiment mehrmals hintereinander durchführen und sich dann dafür interessieren, ob bei einem n-maligen Durchführen dieses Experimentes k-mal ein bestimmtes Ergebnis herauskommt. Hier siehst Du den Zusamenhang zu den Größen n und k, n gibt die Anzahl der durchzuführenden Experimente an, wobei k-mal ein bestimmtes Ergebnis herauskommen soll. Hierbei ist k kleiner oder gleich n. Für die Durchführung des Experimentes, bei dem es nicht auf die Reihenfolge der Ergebnisse ankommt, fragt man sich nun, wieviel Möglichkeiten es gibt, aus n Ergebnissen genau k-mal ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen. Die Anzahl der Kombinationen ist dabei genau [mm] \vektor{n \\ k} [/mm], gelesen wird es als "n über k" und ist eine abkürzende Schreibweise für den Ausdruck [mm] \bruch{n!}{k! \cdot (n-k)!} [/mm]. Dies ist genau der Vorfaktor in der Bernoulli-Gleichung. Wie kommt man darauf? Man stelle sich vor, dass die Ergebnisse der Ziehung vorliegen und man nun die günstigen und die nicht günstigen Ergebnisse, also die bei denen das Ereignis auftrat und die, bei denen es nicht auftrat, anordnen will. Hierfür stehen n Plätze zur Verfügung, an den ersten Platz kann ich nun eines der n Ergebnisse setzen, für den zweiten Platz bleiben noch n-1 Möglichkeiten etc. bis beim k-Platz nur noch n-k+1 Möglichkeiten da sind. Insgesamt also gibt es [mm] n (n-1) ... (n-k+1) [/mm] Möglichkeiten. Multipliziere nun diesen Ausdruck mit einer 1, die man nur geschickt darstellen muss, nämlich so
$$ n (n-1) [mm] \cdot \cdot \cdot [/mm] (n-k+1) [mm] \cdot \bruch{n-k)\cdot \cdot 2 \cdot 1}{(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] $$
Da bei dieser Berechnung die Anordnung der Ereignisse auf die Plätze keine Rolle spielen darf, - es kommt ja nur auf die Gesamtanzahl an -, muss man diesen Ausdruck noch durch k! dividieren, der Gesamtanzahl aller Wiederholungen. Dies ergibt genau den Faktor, der in Deiner Gleichung auftaucht.
Viele Grüße,
Infinit
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