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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 05.03.2010 | | Autor: | Nils92 |
| Aufgabe | 4) Ein Buch mit 400 Seiten enthält 60 Druckfehler.
a) Auf wie vielen Seiten kann man 0, 1, 2, 3, ..., 8 Druckfehler erwarten?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Zufall eine Seite aufzuschlagen, die mindestens 2 Druckfehler enthält?
Welche Modellannahme wir gemacht? Was sind hier die Kugel bzw. die Fächer |
Also bei a) hab ich mir schon Gedanken gemacht:
Ich denke mal die Fächer sind die 400 Seiten: f=400
und die Kugeln sind die 60 Druckfehler: n=60
Doch nun weiß ich nicht weiter, kann mir vielleicht jemand sagen ob ich das jetzt so lösen kann?:
P(0 Druckfehler)= [mm] \vektor{60 \\ 0} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{f})^{0} [/mm] * [mm] (1-\bruch{1}{f})^{60}
[/mm]
geht das so?
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Hallo!
> 4) Ein Buch mit 400 Seiten enthält 60 Druckfehler.
> a) Auf wie vielen Seiten kann man 0, 1, 2, 3, ..., 8
> Druckfehler erwarten?
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Zufall
> eine Seite aufzuschlagen, die mindestens 2 Druckfehler
> enthält?
> Welche Modellannahme wir gemacht? Was sind hier die Kugel
> bzw. die Fächer
> Also bei a) hab ich mir schon Gedanken gemacht:
>
> Ich denke mal die Fächer sind die 400 Seiten: f=400
>
> und die Kugeln sind die 60 Druckfehler: n=60
Ich stimme dir zu ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Es macht nämlich auch keinen Sinn, Seiten auf Druckfehler zu verteilen 
> Doch nun weiß ich nicht weiter, kann mir vielleicht jemand
> sagen ob ich das jetzt so lösen kann?:
> P(0 Druckfehler)= [mm]\vektor{60 \\ 0}[/mm] * [mm](\bruch{1}{f})^{0}[/mm] *
> [mm](1-\bruch{1}{f})^{60}[/mm]
Genau, damit bestimmst du jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Seite 0 Druckfehler besitzt.
Was wird hier eigentlich gerechnet?
Man stellt sich die 400 Seiten vor als 400 Fächer. Nun haben wir die 60 Druckfehler, die 60 Kugeln.
Wenn wir uns jetzt ein bestimmtes Fach vornehmen, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dort 0 Kugeln reinfallen?
Nun, die Wahrscheinlichkeit für die Kugel, in dieses ganz bestimmte Fach zu fallen ist immer gleich - es gibt 400 Fächer, also beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/400, dass die Kugel genau in dieses Fach fällt.
Insgesamt werden 60 voneinander unabhängige Versuche gemacht, weil 60 Druckfehler auf die 400 Seiten verteilt werden.
Der Versuch ist also binomialverteilt (Bernoulli-Kette), mit n = 60 und p = 1/400. Das ist die Modellannahme, dass die Druckfehler unabhängig voneinander auf die Seiten verteilt werden, und die Anzahl der Druckfehler auf einer Seite also binomialverteilt ist.
Bei deiner Aufgabe in a) ist aber nicht nach einer Wahrscheinlichkeit, sondern nach einer Anzahl gesucht.
Wir wissen: Pro Seite beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass 0 Druckfehler auf ihr landen,
[mm] $\vektor{60\\0}*\left(\frac{1}{400}\right)^0*\left(\frac{1}{399}\right)^{60} \approx [/mm] 0.86054$.
Gewissermaßen haben wir nun nochmal eine Bernoulli-Kette: Für jede der 400 Seiten wird nun mit dieser Wahrscheinlichkeit entschieden, ob 0 Druckfehler drauf sind oder nicht. Wir haben also n = 400, p = 0.86054.
Der Erwartungswert davon ist n*p = 344.216. Also haben etwa 344 Seiten 0 Druckfehler.
Für die anderen Zahlen geht das jetzt ganz analog.
Grüße,
Stefan
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