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Bernoulli-Modell?: Hinweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Mi 08.09.2010
Autor: Yamagi

Aufgabe
Bei einer Produktionskontrolle in einer Massenfertigung kann angenommen werden, dass die Eigenschaften (fehlerfrei / fehlerhaft) der einzelnen Stücke voneinander unabhängig eintreten und dass die jeweiligen Fehlereintrittswahrscheinlichkeiten $p [mm] \in [/mm] (0,1)$ bei allen Stücken dieselben sind. Wie viele fehlerfreie Stücke beobachtet man im Durchschnitt, bis das erste fehlerhafte Stück auftritt?

Geben Sie dazu eine geeignete Zufallsvariable und deren Verteilung an, und berechnen deren erwartete Größe.

Hallo,
ich sitze seit einigen Stunden vor dieser Aufgabe und stehe da wirklich auf dem Schlauch. Ich verstehe nicht einmal so wirklich, was eigentlich von mir verlangt wird. Also, da es keine Zahlen gibt, muss ich logischerweise komplett mit Variablen rechnen, sodass sich am Ende eine Formel ergibt.

Mein bisheriger Gedankengang war nun so, dass ich eine endlose Folge von Bernoulli-Experimenten habe. Nun betrachte ich die Wahrscheinlichkeit für alle, die gelingen, bis zu dem Punkt an welchem das erste Experiment fehlschlägt. Bei meiner Recherche bin ich auf die [mm] $Geo^0$ [/mm] Verteilung, also die Geometrische Verteilung gestoßen. Deren Formel ist: [mm] $geo^0(p;k):=p*q^k$ [/mm] Das kann ich noch einen Schritt weiter aufdröseln: $p * [mm] (1-p)^k$ [/mm] Nur soll es das schon gewesen sein? Ist damit der erste Aufgabenteile zum Angeben einer einer Zufallsvariable und ihrer Verteilung bereits erfüllt? Vor allem, muss ich die Zufallsvariable nicht noch bestimmen?

Im zweiten Schritt würde ich dann den Erwartungswert der Geometrischen Verteilung bestimmen, wieder nach der gegeben Formel dazu. Viel zusammenfassen kann ich dort dann auch nicht mehr...

Ich wäre dankbar für einen Stoß in die richtige Richtung oder einen Hinweis, wie ich an diese Aufgabe herangehe und ob meine bisherigen Gedanken richtig sind.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bernoulli-Modell?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Mi 08.09.2010
Autor: abakus


> Bei einer Produktionskontrolle in einer Massenfertigung
> kann angenommen werden, dass die Eigenschaften (fehlerfrei
> / fehlerhaft) der einzelnen Stücke voneinander unabhängig
> eintreten und dass die jeweiligen
> Fehlereintrittswahrscheinlichkeiten [mm]p \in (0,1)[/mm] bei allen
> Stücken dieselben sind. Wie viele fehlerfreie Stücke
> beobachtet man im Durchschnitt, bis das erste fehlerhafte
> Stück auftritt?
>  
> Geben Sie dazu eine geeignete Zufallsvariable und deren
> Verteilung an, und berechnen deren erwartete Größe.
>  Hallo,
>  ich sitze seit einigen Stunden vor dieser Aufgabe und
> stehe da wirklich auf dem Schlauch. Ich verstehe nicht
> einmal so wirklich, was eigentlich von mir verlangt wird.
> Also, da es keine Zahlen gibt, muss ich logischerweise
> komplett mit Variablen rechnen, sodass sich am Ende eine
> Formel ergibt.
>  

Hallo,
wenn man eine sehr große Anzahl n von Stücken hat und die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt p beträgt, so sind p*n fehlerhafte Stücke zu erwarten. Der durchschnittliche Abstand zwischen den Nummern zweier fehlerhafter Teile ist somit 1/p. Haben aber zwei Teile den Abstand k, so liegen zwischen ihnen nur k-1 Teile. Aus dieser Überlegung heraus wurde ich also durchschnittlich [mm] \bruch{1}{p}-1 [/mm] fehlerfreie Teile in Folge erwarten.

> Mein bisheriger Gedankengang war nun so, dass ich eine
> endlose Folge von Bernoulli-Experimenten habe. Nun
> betrachte ich die Wahrscheinlichkeit für alle, die
> gelingen, bis zu dem Punkt an welchem das erste Experiment
> fehlschlägt. Bei meiner Recherche bin ich auf die [mm]Geo^0[/mm]
> Verteilung, also die Geometrische Verteilung gestoßen.
> Deren Formel ist: [mm]geo^0(p;k):=p*q^k[/mm] Das kann ich noch einen
> Schritt weiter aufdröseln: [mm]p * (1-p)^k[/mm] Nur soll es das
> schon gewesen sein? Ist damit der erste Aufgabenteile zum
> Angeben einer einer Zufallsvariable und ihrer Verteilung
> bereits erfüllt? Vor allem, muss ich die Zufallsvariable
> nicht noch bestimmen?

Falls p nicht allzu groß ist , klingt die Aufgabe für mich mehr nach Poisson.
Gruß Abakus

>  
> Im zweiten Schritt würde ich dann den Erwartungswert der
> Geometrischen Verteilung bestimmen, wieder nach der gegeben
> Formel dazu. Viel zusammenfassen kann ich dort dann auch
> nicht mehr...
>  
> Ich wäre dankbar für einen Stoß in die richtige Richtung
> oder einen Hinweis, wie ich an diese Aufgabe herangehe und
> ob meine bisherigen Gedanken richtig sind.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Bernoulli-Modell?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mi 08.09.2010
Autor: luis52

Moin Yamagi

[willkommenmr]


>  
> Mein bisheriger Gedankengang war nun so, dass ich eine
> endlose Folge von Bernoulli-Experimenten habe. Nun
> betrachte ich die Wahrscheinlichkeit für alle, die
> gelingen, bis zu dem Punkt an welchem das erste Experiment
> fehlschlägt. Bei meiner Recherche bin ich auf die [mm]Geo^0[/mm]
> Verteilung, also die Geometrische Verteilung gestoßen.

[ok]

> Deren Formel ist: [mm]geo^0(p;k):=p*q^k[/mm] Das kann ich noch einen
> Schritt weiter aufdröseln: [mm]p * (1-p)^k[/mm] Nur soll es das
> schon gewesen sein? Ist damit der erste Aufgabenteile zum
> Angeben einer einer Zufallsvariable und ihrer Verteilung
> bereits erfüllt? Vor allem, muss ich die Zufallsvariable
> nicht noch bestimmen?


Die Zufallsvariable ist $X=$Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Treffer mit [mm] $P(X=k)=p*q^k$ [/mm] fuer [mm] $k=0,1,2,\dots$ [/mm]

>  
> Im zweiten Schritt würde ich dann den Erwartungswert der
> Geometrischen Verteilung bestimmen, wieder nach der gegeben
> Formel dazu. Viel zusammenfassen kann ich dort dann auch
> nicht mehr...

[ok]

vg Luis


Bezug
        
Bezug
Bernoulli-Modell?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:37 Do 09.09.2010
Autor: Yamagi

Dankesehr! Das hilft mir weiter.

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