Bernoulli Binomialko. Beweis < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mo 18.07.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Bernoulli Ungleichung beweisen
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] _{0}, x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] 1+nx$ |
Hallo!
Ich habe keinen Beweis gefunden wo das mit dem binomischen Lehrsatz gemacht wird.
Der binomische Lehrsatz wurde bewiesen, damit ist :
[mm] $(1+x)^{n} [/mm] = [mm] \vektor{n\\ 0}x^{n} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} x^{n-1}... [/mm] + [mm] \vektor{n\\ n-1}x^{1}+\vektor{n \\ n} x^{0} \ge \vektor{n\\n} x^{0} [/mm] + [mm] \vektor{n\\n-1 }x^{1} [/mm] = 1+ nx \ \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] , x [mm] \in \IR$ [/mm]
Was ist daran falsch? Wenn es richtig ist, was ist daran schlechter als ein Beweis mit Induktion so dass es nirgendwo so gemacht wird?
Bin für jegliche Hilfestellung dankbar!
Gruss
kushkush
|
|
| |
|
> Bernoulli Ungleichung beweisen
>
> [mm]\forall n \in \IN _{0}, x \in \IR : (1+x)^{n} \ge 1+nx[/mm]
>
> Hallo!
>
>
> Ich habe keinen Beweis gefunden wo das mit dem binomischen
> Lehrsatz gemacht wird.
>
> Der binomische Lehrsatz wurde bewiesen, damit ist :
>
>
> [mm](1+x)^{n} = \vektor{n\\ 0}x^{n} + \vektor{n \\ 1} x^{n-1}... + \vektor{n\\ n-1}x^{1}+\vektor{n \\ n} x^{0} \ge \vektor{n\\n} x^{0} + \vektor{n\\n-1 }x^{1} = 1+ nx \ \ \forall n \in \IN_{0} , x \in \IR[/mm]
>
>
> Was ist daran falsch? Wenn es richtig ist, was ist daran
> schlechter als ein Beweis mit Induktion so dass es
> nirgendwo so gemacht wird?
Hallo kushkush,
den Beweis kann man für x>0 so führen. Der Induktionsbeweis für die Bernoulliungleichung wird oft als Übungsaufgabe zur Induktion gegeben. Aber auch da zeigt man die Aussage nur für [mm] x\geq-1 [/mm] und nicht für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Es ist z. B. für x=-5:
[mm] (1-5)^3=-64<1+3*(-5)
[/mm]
LG
>
>
>
> Bin für jegliche Hilfestellung dankbar!
>
>
>
>
> Gruss
> kushkush
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mo 18.07.2011 | | Autor: | DM08 |
[mm] $(1+x)^n\ge1+nx\ \forall n\in\IN_{0}\forall x\in\IR_{x\ge-1}$
[/mm]
Für $x=-1$ muss $n=0$ muss [mm] $0^{0}$ [/mm] gesetz werden.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mo 18.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes gilt :
[mm] $(1+x)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\ k}1^{n-k}x^{k}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\ k}x^{k}=\vektor{n\\ 0}x^{0}+\vektor{n\\ 1}x^{1}+\summe_{k=2}^{n}\vektor{n\\ k}x^{k}=1+nx+\summe_{k=2}^{n}\vektor{n\\ k}x^{k}\ge1+nx\ \forall n\in\IN_{0}\forall x\in\IR_{x\ge-1}$
[/mm]
edit : Pass auf den Index auf bei deiner Summe !
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mo 18.07.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti und DM08,
Danke sehr!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
