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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von ty'+ y = y^-^2 |
Ich habe die Aufgabe mit der Bernaulli Formel zu [mm] \bruch{t}{3}u´+\bruch{1}{t}u=\bruch{1}{t} [/mm] umgeformt.
hieraus die Homogene Lösung zu [mm] u=t^{-3}*c
[/mm]
und dann die partikuläre LSG zu up=3
die Allgemeine lösung ergibt dann [mm] u=t^{-3}*c+3
[/mm]
nach rückksubstitution ergibt sich [mm] y=\wurzel[3]{t^{-3}*c+3}
[/mm]
ist die lösung so richtig?
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> nach rückksubstitution ergibt sich
> [mm]y=\wurzel[3]{t^{-3}*c+3}[/mm]
>
> ist die lösung so richtig?
Der Summand unter der Wurzel sollte nicht 3, sondern 1 sein.
LG Al-Chw.
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Hallo likenobody,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von ty'+ y = y^-^2
> Ich habe die Aufgabe mit der Bernaulli
Der gute Mann hieß "Bernoulli" !!
> Formel zu
> [mm]\bruch{t}{3}u´+\bruch{1}{t}u=\bruch{1}{t}[/mm] umgeformt.
Wie kommen die [mm]\frac{1}{t}[/mm] zustande?
Mit der Substitution [mm]u:=y^3[/mm] komme "ich" auf [mm]\frac{t}{3}u'+u-1=0[/mm]
Und das ist direkt trennbar - du brauchst nicht in homogen und inhomogen aufzuteilen:
[mm]u'=\frac{3(1-u)}{t}[/mm], also [mm]\frac{1}{1-u} \ du \ = \ \frac{3}{t} \ dt}[/mm]
>
> hieraus die Homogene Lösung zu [mm]u=t^{-3}*c[/mm]
> und dann die partikuläre LSG zu up=3
>
> die Allgemeine lösung ergibt dann [mm]u=t^{-3}*c+3[/mm]
Ich komme auf [mm] $u=1-ct^{-3}$, [/mm] was nach Rücksubstitution auch auf eine Lösung führt, die die Ausgangsdgl erfüllt ...
>
> nach rückksubstitution ergibt sich
> [mm]y=\wurzel[3]{t^{-3}*c+3}[/mm]
>
> ist die lösung so richtig?
Leite mal ab, das erfüllt m.E. die Dgl. nicht ...
Gruß
schachuzipus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok, die werte der gleichungen kann ich nachvollziehen, aber wie kommt das vorzeichen zustande?
>Mit der Substitution u:=y^3 komme "ich" auf \frac{t}{3}u'+u-1=0
Bis hierhin ist es mir nun klar.
>
>Und das ist direkt trennbar - du brauchst nicht in homogen und >inhomogen aufzuteilen:
>
>u'=\frac{3(1-u)}{t}, also \frac{1}{1-u} \ du \ = \ \frac{3}{t} \ dt}
hier muss es doch dann \frac{1}{1-u} \ du \ = \ -\frac{3}{t} \ dt} heißen?!?
wenn ich das nun integrie komme ich auf
ln(u-1)=-3 ln(t) +c
hierauf wird nun die exp-funktion angewand was zu:
u-1 = t^-^3+1 führt.
wie kommt das VZ (minus) vor das t?
vielen dank schonmal
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ok, die werte der gleichungen kann ich nachvollziehen, aber
> wie kommt das vorzeichen zustande?
>
> >Mit der Substitution u:=y^3 komme "ich" auf
> \frac{t}{3}u'+u-1=0
>
> Bis hierhin ist es mir nun klar.
> >
> >Und das ist direkt trennbar - du brauchst nicht in
> homogen und >inhomogen aufzuteilen:
> >
> >u'=\frac{3(1-u)}{t}, also \frac{1}{1-u} \ du \ = \
> \frac{3}{t} \ dt}
>
> hier muss es doch dann \frac{1}{1-u} \ du \ = \
> -\frac{3}{t} \ dt} heißen?!?
Warum? Woher soll das "-" denn kommen?
Man teilt auf beiden Seiten durch [mm](1-u)[/mm], da bleibt rechterhand doch "nur" [mm]\frac{3}{t}[/mm] stehen ?!
>
> wenn ich das nun integrie komme ich auf
>
> ln(u-1)=-3 ln(t) +c
Hier hast du aus [mm]1-u[/mm] von oben aber [mm]u-1[/mm] gemacht, also mit [mm]-1[/mm] multipliziert, das ergibt dann:
[mm]\frac{1}{u-1} \ du \ = \ -\frac{3}{t} \ dt[/mm]
Vllt. meintest du das so?!
>
> hierauf wird nun die exp-funktion angewand was zu:
>
> u-1 = t^-^3+1 führt.
Wieso "+1" ?
Doch erstmal [mm]e^{-3t+c}=e^c\cdot{}t^{-3}=c_1\cdot{}t^{-3}[/mm]
Also [mm]u=c_1\cdot{}t^{-3}+1[/mm]
>
> wie kommt das VZ (minus) vor das t?
Du kannst statt [mm]c_1[/mm] auch [mm]-c_2[/mm] nehmen, dann kommst du auf meine urspr. Darstellung ...
Aber [mm] $u=c\cdot{}t^{-3}+1$ [/mm] ist richtig!
> vielen dank schonmal
Gruß
schachuzipus
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