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| Aufgabe | | [mm] xy'=4y+x^2\wurzel{y} [/mm] |
[mm] xy'=4y+x^2\wurzel{y}
[/mm]
[mm] x'y-4y-x^2\wurzel{y}=0
[/mm]
[mm] \bruch{xy'}{\wurzel{y}}-\bruch{4y}{\wurzel{y}}=x^2
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] y'=-\bruch{z'}{\wurzel{z}}
[/mm]
[mm] -xz'-4z=x^2
[/mm]
homogen lösen:
[mm] z=C*x^4
[/mm]
So, und jetzt komme ich wieder nicht weiter. Mir fehlt einfach die Routine dass ich erkenne wie man mit unterschiedlichen DGL weiter arbeitet..oder wie man vorgeht bei verschiedenen Typen.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]xy'=4y+x^2\wurzel{y}[/mm]
> [mm]xy'=4y+x^2\wurzel{y}[/mm]
> [mm]x'y-4y-x^2\wurzel{y}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{xy'}{\wurzel{y}}-\bruch{4y}{\wurzel{y}}=x^2[/mm]
> [mm]y=\bruch{1}{z}[/mm]
Das ist die falsche Substitution.
Die richtige Subsitution lautet: [mm]y=z^{2}[/mm]
> [mm]y'=-\bruch{z'}{\wurzel{z}}[/mm]
>
> [mm]-xz'-4z=x^2[/mm]
>
> homogen lösen:
> [mm]z=C*x^4[/mm]
>
> So, und jetzt komme ich wieder nicht weiter. Mir fehlt
> einfach die Routine dass ich erkenne wie man mit
> unterschiedlichen DGL weiter arbeitet..oder wie man vorgeht
> bei verschiedenen Typen.
>
> Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!!
>
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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> > [mm]\bruch{xy'}{\wurzel{y}}-\bruch{4y}{\wurzel{y}}=x^2[/mm]
Ist diese Umformung so ok oder muss ich so umformen, dass das x vor y' weg ist? Wenn es so richtig wäre, dann: (ich schreibe mal "u", weil ich mir das so angwöhnt habe)
[mm] u=y^2
[/mm]
u'=2yy'
[mm] y'=\bruch{u'}{2y}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{xu'}{2y}}{\wurzel{y}}-\bruch{4y}{\wurzel{y}}=x^2
[/mm]
das scheint mir nicht ganz zu stimmen...
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
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> > > [mm]\bruch{xy'}{\wurzel{y}}-\bruch{4y}{\wurzel{y}}=x^2[/mm]
> Ist diese Umformung so ok oder muss ich so umformen, dass
> das x vor y' weg ist? Wenn es so richtig wäre, dann: (ich
> schreibe mal "u", weil ich mir das so angwöhnt habe)
>
Nimm die Orignal-DGL her und teile sie durch x,
dann hast Du vor y' den Koeffizienten 1.
> [mm]u=y^2[/mm]
> u'=2yy'
> [mm]y'=\bruch{u'}{2y}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{xu'}{2y}}{\wurzel{y}}-\bruch{4y}{\wurzel{y}}=x^2[/mm]
>
> das scheint mir nicht ganz zu stimmen...
>
>
Gegeben ist die Bernoulli-DGL
[mm] xy'=4y+x^2\wurzel{y} [/mm]
Substitution:[mm]y=z^{\alpha} \Rightarrow y'=\alpha*z'*z^{\alpha-1}[/mm]
Einsetzen liefert:
[mm] x\blue{\alpha*z'*z^{\alpha-1}}=4\blue{z^{\alpha}}+x^2\blue{z^{\alpha/2}} [/mm]
Division durch [mm]z^{\alpha-1}[/mm]:
[mm] x \ \blue{\alpha*z'}=4\blue{z}+x^2\blue{z^{\alpha/2-\alpha+1}} [/mm]
Aus [mm]\bruch{\alpha}{2}-\alpha+1=0[/mm] folgt nun [mm]}\alpha=2[/mm]
Somit ergibt sich die neue DGL zu:
[mm] x \ \blue{2*z'}=4\blue{z}+x^2 [/mm]
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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ich habe dann für y folgende allgemeine Lösung:
[mm] y=e^{4x^2}+C
[/mm]
Ist das korrekt?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> ich habe dann für y folgende allgemeine Lösung:
>
> [mm]y=e^{4x^2}+C[/mm]
>
> Ist das korrekt?
>
Nein, das ist nicht korrekt.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Hallo,
MathePower hatte Dir deine DGL doch schon umgeformt!
[mm] $z'=2*\frac{z}{x}+x$ [/mm] mit [mm] y=z^2
[/mm]
Nun löse die homogene DGL:
[mm] $z'=2*\frac{z}{x}$
[/mm]
durch Trennung der Variablen.
Poste bitte Deine Rechenschritte!
Zur Kontrolle: [mm] z=D*x^2
[/mm]
und damit: [mm] y_h=C*x^4
[/mm]
Dann weiter mit Variation der Konstanten: [mm] y=C(x)*x^4
[/mm]
Poste bitte Deine Rechenschritte!
Zur Kontrolle: [mm] $y=x^4*\left(ln\left(\wurzel{x}\right)+E\right))^2$
[/mm]
- so ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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