Bernoulli L'Hospital-Aufgaben < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Fr 12.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ich habe folgende Aufgaben nach Bernoulli L' Hospital zu lösen, also deren Grenzwert zu ermitteln.
1) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (1+sin [mm] 2*x)^{\bruch{1}{2x}}
[/mm]
2) [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(tan x)^{tan 2x}
[/mm]
3) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\bruch{12}{x}}
[/mm]
4) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin^{2}(x+3)-sin^{2}*3}{(3+x)^{2}-9}
[/mm]
5) [mm] \limes_{x\rightarrow 1}x^{\bruch{1}{x-1}}
[/mm]
|
zu1) = [mm] 1^{\infty}=e^{\bruch{1}{2x}*ln(1+sin 2x)}=e^{0}=1 [/mm]
(das wäre doch zumindest laut Anwendung des Gesetzes [mm] a^{x}=e^{ln(a^{x})=e^{x*ln a}} [/mm] der Fall....)
Allerdings lautet der Grenzwert der Musterlösung [mm] e^{1}=e
[/mm]
und genau das krieg ich als Ergebnis wenn ich das Gesetz oben "vertauscht" anwende, also [mm] ...=e^{ln(\bruch{1}{2x})*(1+sin 2x)}=e^{1}=e
[/mm]
Das kommt mir etwas suspekt vor...
Die anderen Aufgaben bis auf 4) laufen analog, habe ich also jetzt erstmal nicht bearbeitet.
zu 4) [mm] =\bruch{0}{0}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{2 cos(3+x)}{2(3+x)}=\bruch{2 cos(3+x)}{6+2x)}=\bruch{2 cos (3)}{6}
[/mm]
Als Musterlösung soll aber [mm] \bruch{sin 6}{6} [/mm] rauskommen...
Wo liegen denn meine Fehler?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo RalU
> ich habe folgende Aufgaben nach Bernoulli L' Hospital zu
> lösen, also deren Grenzwert zu ermitteln.
>
> 1) [mm]\limes_{n\rightarrow 0}[/mm] (1+sin [mm]2*x)^{\bruch{1}{2x}}[/mm]
>
> [mm]2)\limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(tan x)^{tan 2x}[/mm]
>
> [mm]3)\limes_{n\rightarrow 0}(1+x)^{\bruch{12}{x}}[/mm]
>
> [mm]4)\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{sin^{2}(x+3)-sin^{2}*3}{(3+x)^{2}-9}[/mm]
>
> [mm]5)\limes_{n\rightarrow 1}x^{\bruch{1}{x-1}}[/mm]
>
> zu1) = [mm]1^{\infty}=e^{\bruch{1}{2x}*ln(1+sin 2x)}=e^{0}=1[/mm]
>
> (das wäre doch zumindest laut Anwendung des Gesetzes
> [mm]a^{x}=e^{ln(a^{x})=e^{x*ln a}}[/mm] der Fall....)
>
> Allerdings lautet der Grenzwert der Musterlösung [mm]e^{1}=e[/mm]
>
> und genau das krieg ich als Ergebnis wenn ich das Gesetz
> oben "vertauscht" anwende, also
> [mm]...=e^{ln(\bruch{1}{2x})*(1+sin 2x)}=e^{1}=e[/mm]
>
> Das kommt mir etwas suspekt vor...
>
> Die anderen Aufgaben bis auf 4) laufen analog, habe ich
> also jetzt erstmal nicht bearbeitet.
>
> zu 4) = [mm]\bruch{0}{0}=\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{2 cos(3+x)}{2(3+x)}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{2 cos(3+x)}{6+2x)}=\bruch{2 cos (3)}{6}[/mm]
>
> Als Musterlösung soll aber [mm]\bruch{sin 6}{6}[/mm] rauskommen...
>
> Wo liegen denn meine Fehler?
Zu 1.
Du brauchst den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}{\bruch{\ln(1+\sin (2x))}{2x}} [/mm]
Die Voraussetzungen von L'Hospital sind erfüllt, also Zähler und Nenner ableiten:
$ = [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\cos (2x)}{1+\sin (2x)} [/mm] $
Kommst du jetzt weiter?
Zu 4:
Hier ist deine Ableitung des Zählers falsch:
$ u(x) = [mm] \sin^{2}(x+3) [/mm] $
$ u'(x) = 2 [mm] \sin(x+3) \cos(x+3) [/mm] $
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Fr 12.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | ok, ich hab dann da wohl die Regel von 'L Hospital nicht mehr beachtet. |
also zu 1) folgt dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{ln(1+sin 2x)}{2x}=\bruch{0}{0}
[/mm]
=>
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{\bruch{cos(2x)*2}{1+sin 2x}}{2x}=1
[/mm]
also folgt insgesamt:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}(1+sin 2x)^{\bruch{1}{2x}}=e^{1}=e
[/mm]
zu den folgenden Aufgaben, die nach dem gleichen Muster ablaufen, krieg ich folgende Grenzwerte raus:
zu 3):
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}(1+x)^{\bruch{12}{x}}=e^{1}=e
[/mm]
zu 4): (dort hab ich den Zähler falsch abgeleitet, folgt also:)
[mm] ...=\limes_{n\rightarrow 0}{\bruch{2 sin(x+3)*cos(x+3)}{6+2x}}
[/mm]
dort den Grenzwert gebildet, krieg ich doch [mm] {\bruch{2 sin(3)*cos(3)}{6}}
[/mm]
dann bin ich aber noch nicht bei meiner Musterlösung für den Grenzwert: [mm] \bruch{sin 6}{6}. [/mm] Wie komm ich denn nun darauf?
zu 5): [mm] \limes_{n\rightarrow 1}(x)^{\bruch{1}{x-1}}=...=e^{1}=e
[/mm]
fehlt noch 2): [mm] \limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}(tan x)^{tan 2 x}= \infty^{ \infty}
[/mm]
=> [mm] e^{tan 2x * ln (tan x)}= \infty*\infty
[/mm]
ich betrachte jetzt also [mm] \limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}} [/mm] tan 2x * ln (tan x)= [mm] \infty*\infty
[/mm]
also ableiten ( das geht hier leider nur mit der Produktregel, oder sehe ich das falsch?) also
[mm] \limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}} cot(2x)*2*ln(tanx)+tan(2x)*\bruch{cot x}{tan x} [/mm] = - [mm] \infty^{\infty}
[/mm]
also müsste ich wieder die Ableitung bilden, allerdings kommt mir das wieder etwas suspekt vor, weil ich hier erneut die Produktregel anwenden müsste...Hätte man denn vorher vielleicht mit Additionstheoremen tan oder cot irgendwie vereinfachen können?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:47 Sa 13.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Hallo! Additionstheoreme anwenden, sind also doch ein guter Ansatz. Allerdings hab ich damit Probleme bei [mm] \limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}(tan x)^{tan 2x} [/mm] |
[mm] \limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}(tan x)^{tan 2x}=...=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}tan(2x)\cdot{}\ln[\tan(x)] =\bruch{\ln[\tan(x)]}{\bruch{1}{\tan(2x)}}=\bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
Ich wende nun die Formel des doppelten Winkels [mm] tan(2x)=\bruch{2*tan x}{1-tan^{2}x} [/mm] an und setze sie im Bruch ein.
also: [mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]}{\bruch{1}{\bruch{2*tan x}{1-tan^{2}x}}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]}{1}*{\bruch{1-tan^{2}x}{2*tan x}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]*(1-tan^{2}x)}{2*tan x}
[/mm]
da immer noch = [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] gillt, leite ich also jetz nach Bernoulli Zähler und Nenner getrennt ab:
also:
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \bruch{\bruch{1}{tan x}*cot x*(1-tan^{2}x)+ln(tan x)*2 tan x *cot x}{2*tan x*cot x}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \bruch{\bruch{cot x}{tan x}*(1-tan^{2}x)+(ln(tan x)+1)*2 tan x *cot x}{2*tan x * cot x}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}} {\bruch{cot x}{tan x}}*(1-tan^{2}x)+(ln(tan [/mm] x)+1)*1 (2 tan(x)* cot (x) gekürzt)
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}} {\bruch{cot x}{tan x}}-{\bruch{cot x}{tan x}}*tan [/mm] x * tan x +(ln(tan x)+1) (erste Klammer ausmultipliziert und [mm] tan^{2}x=tan [/mm] x * tan x gesetzt)
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}} {\bruch{cot x}{tan x}}-cot [/mm] x*tan x +(ln(tan x)+1) (tan x gekürzt)
dass kann ich dann doch noch umstellen, so dass da steht:
[mm] =\limes_{n\rightarrow {\bruch{\pi}{2}}}{\bruch{cot x}{tan x}}-{\bruch{cot x}{\bruch{1}{tan x}}} [/mm] +(ln(tan x)+1)
dann hätte ich für die Grenzwertbetrachtung da stehen: [mm] {\bruch{0}{\infty}}-{\bruch{0}{0}}+ [/mm] (+ [mm] \infty) [/mm] = + [mm] \infty
[/mm]
oder hab ich wieder falsch abgeleitet, bzw. muss ich wegen dem [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm] nochmal nach Bernoulli ableiten?
Andererseits wäre dass wieder ein schon recht komplexer Ausdruck, wenn ich den erneut ableiten müsste...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 So 14.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Ok, habs soeben erst bemerkt. Hatte einen Fehler beim Ableiten.... |
Ich setz mal nochmal hier an:
... [mm] \limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]}{\bruch{1}{\bruch{2\cdot{}tan x}{1-tan^{2}x}}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]}{1}\cdot{}{\bruch{1-tan^{2}x}{2\cdot{}tan x}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]\cdot{}(1-tan^{2}x)}{2\cdot{}tan x}
[/mm]
[mm] =\bruch{\infty}{\infty}, [/mm] also kann ich nach Bernoulli L' Hospital ableiten:
also: [mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\bruch{1}{tanx}*\bruch{1}{cos^{2}x}*(1-tan^{2}x)+ln(tan x)*\bruch{2*tan x}{cos^{2}x}}{-2*\bruch{1}{cos^{2}x}}
[/mm]
Anmerkung:
[mm] (tanx)'=\bruch{1}{cos^{2}x}
[/mm]
und [mm] (2*tanx)'=Prod.regel=-2*\bruch{1}{cos^{2}x} [/mm]
weiter zusammenfassen ergibt:
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\bruch{(1-tan^{2}x)}{tanx*cos^{2}x}+{\bruch{ln(tanx)*2*tanx}{cos^{2}x}}}{\bruch{1}{cos^{2}x}}
[/mm]
jetzt Zähler erweitern, um auf einen Bruchstrich zu schreiben:
[mm] =\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\bruch{(1-tan^{2}x)+ln(tanx)*2*tanx*
tan x }{tanx*cos^{2}x}}{\bruch{1}{cos^{2}x}}
[/mm]
als nächstes würde ich tan x im Zähler ausklammern um zu kürzen und dann mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren, um [mm] cos^{2}x [/mm] zu kürzen...
Allerdings frage ich mich, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mo 15.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok, habs soeben erst bemerkt. Hatte einen Fehler beim
> Ableiten....
> Ich setz mal nochmal hier an:
>
> ... [mm]\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]}{\bruch{1}{\bruch{2\cdot{}tan x}{1-tan^{2}x}}}[/mm]
>
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]}{1}\cdot{}{\bruch{1-tan^{2}x}{2\cdot{}tan x}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\ln[\tan(x)]\cdot{}(1-tan^{2}x)}{2\cdot{}tan x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\infty}{\infty},[/mm] also kann ich nach Bernoulli L'
> Hospital ableiten:
>
> also: [mm]=\limes_{n\rightarrow \bruch{\pi}{2}}\bruch{\bruch{1}{tanx}*\bruch{1}{cos^{2}x}*(1-tan^{2}x)+ln(tan x)*\bruch{2*tan x}{cos^{2}x}}{-2*\bruch{1}{cos^{2}x}}[/mm]
>
> Anmerkung:
> [mm](tanx)'=\bruch{1}{cos^{2}x}[/mm]
> und [mm](2*tanx)'=Prod.regel=-2*\bruch{1}{cos^{2}x}[/mm]
>
>
> weiter zusammenfassen ergibt:
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}\bruch{\bruch{(1-tan^{2}x)}{tanx*cos^{2}x}+{\bruch{ln(tanx)*2*tanx}{cos^{2}x}}}{\bruch{1}{cos^{2}x}}[/mm]
Bis hier okay, aber löse doch jetzt den Doppelbruch auf:
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}\left[\bruch{(1-tan^{2}x)}{tan(x)}+ln(tan(x))*2*tan(x)\right]
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}[\bruch{1}{tan(x)}-tan(x)+ln(tan(x))*2tan(x)]
[/mm]
Und jetzt aufteilen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}[\bruch{1}{tan(x)}]-\limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}[tan(x)]+\limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}[ln(tan(x))*2tan(x)]
[/mm]
>
> jetzt Zähler erweitern, um auf einen Bruchstrich zu
> schreiben:
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}\bruch{\bruch{(1-tan^{2}x)+ln(tanx)*2*tanx*
tan x }{tanx*cos^{2}x}}{\bruch{1}{cos^{2}x}}[/mm]
>
> als nächstes würde ich tan x im Zähler ausklammern um zu
> kürzen und dann mit dem Kehrwert des Nenners
> multiplizieren, um [mm]cos^{2}x[/mm] zu kürzen...
> Allerdings frage ich mich, ob ich überhaupt auf dem
> richtigen Weg bin...
>
Marius
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Was ist denn mit der $12_$ geblieben?
de l'Hospital