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Bernoulli Ungleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mi 29.01.2014
Autor: Ymaoh

Aufgabe
Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung mithilfe des Mittelwertsatzes der Differentialgleichung.

Es ist:
[mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1 + nx

Und:
[mm] f(x)-f(0)=f´(\varepsilon)*(x-0) [/mm]

Ich untersuche also: [mm] \varepsilon \in [/mm] [0,x] x>0
Ich setze also ein und erhalte:

[mm] (1+x)^n [/mm] - 1 = n* (1+ [mm] \varepsilon)^{n-1} [/mm] * x + 1 [mm] \ge [/mm] 1 + nx

Ist damit der Beweis schon fertig?
Ich glaube eigentlich nicht, denn diese Gleichung hat doch nur für ein [mm] \varepsilon [/mm] innerhalb des Intervalls bestand, oder nicht? Ich wüsste aber auch ncicht, wie es sonst noch weitergeht...

        
Bezug
Bernoulli Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mi 29.01.2014
Autor: rainerS

Hallo!

> Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung mithilfe des
> Mittelwertsatzes der Differentialgleichung.
>  Es ist:
>  [mm](1+x)^n \ge 1 + nx[/mm]
>  
> Und:
>  [mm]f(x)-f(0)=f'(\varepsilon)*(x-0)[/mm]
>  
> Ich untersuche also: [mm]\varepsilon \in [0,x][/mm] x>0
>  Ich setze also ein und erhalte:
>  
> [mm](1+x)^n - 1 = n* (1+ \varepsilon)^{n-1} * x + 1 \ge 1 + nx[/mm]
>  
> Ist damit der Beweis schon fertig?
>  Ich glaube eigentlich nicht, denn diese Gleichung hat doch
> nur für ein [mm]\varepsilon[/mm] innerhalb des Intervalls bestand,
> oder nicht? Ich wüsste aber auch ncicht, wie es sonst noch
> weitergeht...

Für $n>1$ reicht das, denn für dieses eine [mm] $\varepsilon$ [/mm] gilt ja:

  [mm]\varepsilon >0 \implies 1+\varepsilon >1 \implies (1+\varepsilon)^{n-1} \ge 1[/mm].

(Für $n=1$) ist [mm] $(1+\varepsilon)^{n-1}=1$. [/mm]

Allerdings gilt die Bernoullische Ungleichung auch für [mm] $x\ge [/mm] -1 $ und [mm] $n\ge [/mm] 0$; für $x<0$ hast du sie nicht gezeigt.

  Viele Grüße
    Rainer



Bezug
                
Bezug
Bernoulli Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Do 30.01.2014
Autor: Ymaoh

Wenn ich das für x<0 zeigen will,
mache ich dann:
[mm] f(0)-f(x)=f'(\varepsilon)*(0-x) [/mm]

oder:
f(0)-f(-1)...etc...

?
Mit ersterem kommt genau dasselbe raus wie für x>0....

Bezug
                        
Bezug
Bernoulli Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Do 30.01.2014
Autor: Sax

Hi,

> Wenn ich das für x<0 zeigen will,
> mache ich dann:
>  [mm]f(0)-f(x)=f'(\varepsilon)*(0-x)[/mm]
>  
> oder:
>  f(0)-f(-1)...etc...
>  

Das erstere natürlich, f(0)-f(-1) ist doch eine feste Zahl, damit kannst du die Behaupting nicht für beliebige x zeigen.

> ?
>  Mit ersterem kommt genau dasselbe raus wie für x>0....

Die Rechnung ist in der Tat dieselbe, aber mache dem Leser / Korrektor unbedingt klar, dass du verstanden hast, warum die Ungleichung z.B. nicht für x=-2 gilt.

Wenn du dann die Fälle x>0 und [mm] ...\le [/mm] x<0 bearbeitet hast bleibt noch der Fall ...

Gruß Sax.


Bezug
        
Bezug
Bernoulli Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Do 30.01.2014
Autor: fred97


> Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung mithilfe des
> Mittelwertsatzes der Differentialgleichung.
>  Es ist:
>  [mm](1+x)^n \ge[/mm] 1 + nx
>  
> Und:
>  [mm]f(x)-f(0)=f´(\varepsilon)*(x-0)[/mm]
>  
> Ich untersuche also: [mm]\varepsilon \in[/mm] [0,x] x>0
>  Ich setze also ein und erhalte:
>  
> [mm](1+x)^n[/mm] - 1 = n* (1+ [mm]\varepsilon)^{n-1}[/mm] * x + 1 [mm]\ge[/mm] 1 + nx

Es ist doch  [mm](1+x)^n- 1 = n* (1+ \varepsilon)^{n-1} * x - 1 [/mm]  !!!

FRED

>  
> Ist damit der Beweis schon fertig?
>  Ich glaube eigentlich nicht, denn diese Gleichung hat doch
> nur für ein [mm]\varepsilon[/mm] innerhalb des Intervalls bestand,
> oder nicht? Ich wüsste aber auch ncicht, wie es sonst noch
> weitergeht...


Bezug
                
Bezug
Bernoulli Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 Do 30.01.2014
Autor: Ymaoh

Ah, ich hab die -1 von dir linken Seite rübergezogen (+1 auf beiden Seiten)
und die versehentlich auf der linken Seite trotzdem wieder hingeschrieben...

Bezug
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