Bernoulli Z. bei Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:49 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Tim82 |
| Aufgabe | a) Entwickeln Sie mit Hilfe des Cauchy- Produktes und der Sinusreihe die ersten vier Glieder der Potenzreihendarstellung von f(x)= 1/sin(x)
b)Nach der Entwicklung ermitteln Sie die Bernoulli Zahlen [mm] B_{1}, B_{2} [/mm] und [mm] B_{3}, [/mm] |
Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst. Bitte um Kontrolle
Die ersten vier Glieder sind:
[mm] \bruch{1}{sin x}= [/mm] 0 + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + 0 + [mm] \bruch{x}{3!} [/mm] + 0 + [mm] \bruch{7x^{3}}{360}
[/mm]
oder:
[mm] \bruch{1}{sin x}= \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{x}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{7x^{3}}{360}
[/mm]
Aufgabenteil b)
fällt mir überhaupt nichts zu ein diese ermitteln zu können und hoffe da auf eine Grundlage an Wissen und Tipps daran zu gehen. Lediglich Wikipedia habe ich dazu besuchen können, mein Papula gibt da nix her...
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> a) Entwickeln Sie mit Hilfe des Couchy- Produktes und der
> Sinusreihe die ersten vier Glieder der
> Potenzreihendarstellung von f(x)= 1/sin(x)
>
> b)Nach der Entwicklung ermitteln Sie die Bernouille Zahlen
> [mm]B_{1}, B_{2}[/mm] und [mm]B_{3},[/mm]
> Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst. Bitte um
> Kontrolle
>
> Die ersten vier Glieder sind:
>
> [mm]\bruch{1}{sin x}=[/mm] 0 + [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + 0 + [mm]\bruch{x}{3!}[/mm] + 0 + [mm]\bruch{7x^{3}}{360}[/mm]
>
> oder:
>
> [mm]\bruch{1}{sin x}= \bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{x}{3!}[/mm] + [mm]\bruch{7x^{3}}{360}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Aufgabenteil b)
> fällt mir überhaupt nichts zu ein diese ermitteln zu
> können und hoffe da auf eine Grundlage an Wissen und Tipps
> daran zu gehen. Lediglich Wikipedia habe ich dazu besuchen
> können, mein Papula gibt da nix her...
hallo Tim,
1.) die Herren hiessen Cauchy und Bernoulli ....
2.) der Anfang der Reihenentwicklung stimmt jedenfalls
in einer Formelsammlung finde ich:
[mm] \bruch{1}{sin(x)}=\bruch{1}{x}+\bruch{x}{6}+\bruch{7}{360}x^{3}+\bruch{31}{15120}x^{5}+\bruch{127}{604800}x^{7}+.....+\bruch{2*(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}B_n*x^{2n-1}+...
[/mm]
wie der genaue Zusammenhang mit der Definition der Bernoulli-Zahlen
gemacht wird, sehe ich im Moment nicht
vielleicht hilft dir die Formel trotzdem etwas weiter...
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Tim82 |
Vielen Dank für die Kontrolle!
Die Formel habe ich auch gefunden, aber wüßte Sie jetzt nicht einzubinden.
Weitere Hilfe zu Aufgabenteil b) gefragt!
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> a) Entwickeln Sie mit Hilfe des Cauchy- Produktes und der
> Sinusreihe die ersten vier Glieder der
> Potenzreihendarstellung von f(x)= 1/sin(x)
>
> b)Nach der Entwicklung ermitteln Sie die Bernoulli Zahlen
> [mm]B_{1}, B_{2}[/mm] und [mm]B_{3},[/mm]
> Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst. Bitte um
> Kontrolle
>
> Die ersten vier Glieder sind:
>
> [mm]\bruch{1}{sin x}= 0 + \bruch{1}{x} + 0 + \bruch{x}{3!} + 0 + \bruch{7x^{3}}{360}[/mm]
>
> oder:
>
> [mm]\bruch{1}{sin x}= \bruch{1}{x} + \bruch{x}{3!} +
\bruch{7x^{3}}{360}[/mm]
>
>
> Aufgabenteil b)
> fällt mir überhaupt nichts zu ein diese ermitteln zu
> können und hoffe da auf eine Grundlage an Wissen und Tipps
> daran zu gehen. Lediglich Wikipedia habe ich dazu besuchen
> können, mein Papula gibt da nix her...
Die Bernoulli-Zahlen [mm] $B_n$ [/mm] werden üblicherweise über die Entwicklung
[mm]\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n[/mm]
eingeführt. Nun ist aber
[mm]\frac{z}{\sin(z)}=\frac{2iz}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2ize^{iz}}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz(e^{iz}+1)}{e^{2iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz}{e^{iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})z^{2n}[/mm]
Das heisst: Du kannst Bernoullizahlen [mm] $B_{2n}$ [/mm] mit geradem Index aus Deiner Entwicklung von [mm] $\frac{x}{\sin(x)}$ [/mm] ablesen. Was ich im Moment aber nicht verstehe ist, wie Du die Bernoullizahlen [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_3$ [/mm] (mit ungeradem Index) ablesen kannst...
Nachtrag (1. Revision): Es gibt zwei verschiedene Definitionen von Bernoulli-Zahlen, die im ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia Artikel mit [mm] $B_n$ [/mm] bzw. [mm] $\beta_n$ [/mm] bezeichnet werden. Was ich oben mit [mm] $B_n$ [/mm] bezeichnet habe, entspricht im Wikipedia-Artikel [mm] $\beta_n$. [/mm] Wegen der Beziehung [mm] $B_n=(-1)^{n+1}\beta_{2n}$ [/mm] (wobei hier [mm] $B_n$ [/mm] die Benennung gemäss Wikipedia sein soll), kann man also aus den [mm] $\beta_{2n}$ [/mm] alle [mm] $B_n$ [/mm] berechnen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Tim82 |
@somebody - ERSTMAL VIELEN DANK FÜR DEINE ANTWORT!
Die ersten vier Glieder sind und waren:
[mm]\bruch{1}{sin x}= 0 + \bruch{1}{x} + 0 + \bruch{x}{3!} + 0 + \bruch{7x^{3}}{360}[/mm] oder: [mm]\bruch{1}{sin x}= \bruch{1}{x} + \bruch{x}{3!} +
\bruch{7x^{3}}{360}[/mm]
> Die Bernoulli-Zahlen [mm]B_n[/mm] werden üblicherweise über die
> Entwicklung
>
> [mm]\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n[/mm]
> eingeführt. Nun ist aber
>
> [mm]\frac{z}{\sin(z)}=\frac{2iz}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2ize^{iz}}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz(e^{iz}+1)}{e^{2iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz}{e^{iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})z^{2n}[/mm]
mhh ich hatte aber die Reihe 1/sinx, aber das tut ja nicht zur Sache, wenn ich das Prinzip verstanden habe kann ich auch das andere...
ich habe jetzt nur die ganze Zeit gegrübelt, wie Du auf diesen Schritt kommst
[mm] \frac{z}{\sin(z)}=\frac{2iz}{e^{iz}-e^{-iz}}=...
[/mm]
wo steckt da der Bezug zu diesem Schritt, wie kommt man darauf das die beiden Terme gleich sind?!
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> @somebody - ERSTMAL VIELEN DANK FÜR DEINE ANTWORT!
>
> Die ersten vier Glieder sind und waren:
>
> [mm]\bruch{1}{sin x}= 0 + \bruch{1}{x} + 0 + \bruch{x}{3!} + 0 + \bruch{7x^{3}}{360}[/mm]
> oder: [mm]\bruch{1}{sin x}= \bruch{1}{x} + \bruch{x}{3!} +
\bruch{7x^{3}}{360}[/mm]
>
>
> > Die Bernoulli-Zahlen [mm]B_n[/mm] werden üblicherweise über die
> > Entwicklung
> >
> > [mm]\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n[/mm]
> > eingeführt. Nun ist aber
> >
> >
> [mm]\frac{z}{\sin(z)}=\frac{2iz}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2ize^{iz}}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz(e^{iz}+1)}{e^{2iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz}{e^{iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})z^{2n}[/mm]
>
>
>
> mhh ich hatte aber die Reihe 1/sinx, aber das tut ja nicht
> zur Sache,
Oops, sorry, war wieder mal etwas oberflächlich beim Lesen Deiner Frage...
> wenn ich das Prinzip verstanden habe kann ich
> auch das andere...
>
> ich habe jetzt nur die ganze Zeit gegrübelt, wie Du auf
> diesen Schritt kommst
>
> [mm]\frac{z}{\sin(z)}=\frac{2iz}{e^{iz}-e^{-iz}}=...[/mm]
>
>
> wo steckt da der Bezug zu diesem Schritt, wie kommt man
> darauf das die beiden Terme gleich sind?!
Ist [mm] $z\in \IR$, [/mm] dann hat man, wegen [mm] $e^{iz}=\cos(z)+i\sin(z)$, [/mm] dass [mm] $e^{iz}-e^{-iz}=(\cos(z)+i\sin(z))-(\cos(-z)+i\sin(-z))=2i\sin(z)$. [/mm] Auflösen nach [mm] $\sin(z)$ [/mm] ergibt [mm] $\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$. [/mm] Das gilt dann auch für komplexes $z$. Diese Möglichkeit, [mm] $\sin(z)$ [/mm] durch [mm] $\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ [/mm] zu ersetzen, habe ich also verwendet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Tim82 |
mhh na klar, habe ich soweit verstanden den Ansatz den Du verwendet hast
aber jetzt patze ich allerdings am Ende, ich hab Kopfzerbrechen und ich stelle mich da bestimmt dumm an... Ich komme nicht auf die Summe die Du gebildet hast und lange nicht darauf wie ich meine bilden sollte...
[mm]\frac{z}{\sin(z)}=\frac{2iz}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2ize^{iz}}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz(e^{iz}+1)}{e^{2iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz}{e^{iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})z^{2n}[/mm]
[mm]\frac{1}{\sin(z)}=\frac{2i}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2ie^{iz}}{e^{2iz}-1}=\frac{2i(e^{iz}+1)}{e^{2iz}-1}-\frac{2i}{e^{2iz}-1}=\frac{2i}{e^{iz}-1}-\frac{2i}{e^{2iz}-1}=\sum_{n=0}[/mm] wie komme ich darauf??
was muss ich da für ansätze tätigen, vorhandenes benutzen?!
sorry bin echt verzweifelt - DANKE für die Hilfe!
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> mhh na klar, habe ich soweit verstanden den Ansatz den Du
> verwendet hast
>
> aber jetzt patze ich allerdings am Ende, ich hab
> Kopfzerbrechen und ich stelle mich da bestimmt dumm an...
> Ich komme nicht auf die Summe die Du gebildet hast und
> lange nicht darauf wie ich meine bilden sollte...
>
> [mm]\frac{z}{\sin(z)}=\frac{2iz}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2ize^{iz}}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz(e^{iz}+1)}{e^{2iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\frac{2iz}{e^{iz}-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})z^{2n}[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{\sin(z)}=\frac{2i}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2ie^{iz}}{e^{2iz}-1}=\frac{2i(e^{iz}+1)}{e^{2iz}-1}-\frac{2i}{e^{2iz}-1}=\frac{2i}{e^{iz}-1}-\frac{2i}{e^{2iz}-1}=\sum_{n=0}[/mm]
Also grundsätzlich habe ich die Reihenentwicklung [mm] $\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}\frac{B_n}{n!}z^n$ [/mm] verwendet, um die Bruchterme [mm] $\frac{iz}{e^{iz}-1}$ [/mm] und [mm] $\frac{2iz}{e^{2iz}-1}$ [/mm] in Reihen zu entwickeln (d.h. ich habe in dieser Reihenentwicklung $z$ durch $iz$ bzw. durch $2iz$ ersetzt).
Des weiteren ist ja so: [mm] $\frac{z}{\sin(z)}$ [/mm] ist eine gerade Funktion. Deshalb müssen alle ungeraden Potenzen von $z$ wegfallen. Anders herum formuliert, die [mm] $B_n$ [/mm] sind für ungerade $n$, [mm] $\geq [/mm] 3$ gleich $0$ (wie gesagt, was ich hier [mm] $B_n$ [/mm] nenne, ist im Wikipedia-Artikel [mm] $\beta_n$): [/mm] deshalb könnte man schlicht alle Glieder mit ungeraden Potenzen von $z$ weglassen.
Du kannst die Summe aber durchaus auch in der Form:
[mm]\frac{z}{\sin(z)}=2\frac{iz}{e^z-1}-\frac{2iz}{e^{2iz}-1}=2\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}(iz)^n-\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}(2iz)^n=\underline{\underline{\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}(2-2^n) i^n z^n}}[/mm]
stehen lassen, denn die Bernoulli-Zahlen, die Du gemäss Aufgabenstellung berechnen sollst, lassen sich aus den hier mit [mm] $B_n$ [/mm] (und im Wikipedia-Artikel mit [mm] $\beta_n$) [/mm] bezeichneten Zahlen, für $n=1,2,3$ aus [mm] $(-1)^{n+1} B_{2n}$, [/mm] berechnen: Du benötigst also so oder so nur die Koeffizienten der geraden Potenzen von $z$. Diese Koeffizienten kannst Du dann mit der mit $z$ multiplizierten Reihe von [mm] $\frac{1}{\sin(z)}$ [/mm] vergleichen (die Du bestimmt hast), um die [mm] $B_{2n}$ [/mm] bestimmen zu können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Tim82 |
1/sin(x) ist eine gerade funktion?!
jetzt mach mich mal nicht kirre der cos(x) und 1/cos(x) sind spiegelsymetrisch zur y achse und damit gerade aber nicht der sinus...???
kannst nochmal bitte deine formel durchgehen, glaub das hast mal hier ne 2 und was vergessen...
Hab se mir jetzt aus einem Uni Script geholt:
[mm] \bruch{x}{sin(x)} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})z^{2n}
[/mm]
Wenn ich jetzt z.B.
[mm] B_{0} [/mm] mit n= 0,
[mm] B_{1} [/mm] mit n=1/2
[mm] B_{2} [/mm] mit n=1
entwickle bleibt als Reihe stehen:
[mm] B_{0} [/mm] * 0 + [mm] B_{1} [/mm] * 0 + [mm] B_{2}x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{sin(x)}
[/mm]
meine entwickelte [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm] Reihe:
[mm] \bruch{1}{sin x}= [/mm] 0 + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + 0 + [mm] \bruch{x}{3!} [/mm] + 0 + [mm] \bruch{7x^{3}}{360}
[/mm]
mit z bzw x multipliziert :
[mm] \bruch{x}{sin x}= [/mm] 0x + [mm] \bruch{x}{x} [/mm] + 0x + [mm] \bruch{x^2}{3!} [/mm] + 0x + [mm] \bruch{7x^{4}}{360}
[/mm]
Was soll ich nun vergleichen oder sag mir mal bitte ein Ergebnis?!
DANKE FÜR DEINE ZEIT UND DEIN ENGAGEMENT...
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> 1/sin(x) ist eine gerade funktion?!
> jetzt mach mich mal nicht kirre der cos(x) und 1/cos(x)
> sind spiegelsymetrisch zur y achse und damit gerade aber
> nicht der sinus...???
Ich habe auch nicht behauptet, [mm] $\frac{1}{\sin(z)}$ [/mm] sei eine gerade Funktion. Statt dessen habe ich geschrieben, [mm] $\frac{z}{\sin(z)}$ [/mm] sei eine gerade Funktion: und dabei bleibe ich. Ein Quotient ungerader Funktionen (hier $z$ und [mm] $\sin(z)$) [/mm] ist eine gerade Funktion.
>
> kannst nochmal bitte deine formel durchgehen, glaub das
> hast mal hier ne 2 und was vergessen...
>
> Hab se mir jetzt aus einem Uni Script geholt:
>
> [mm]\bruch{z}{sin(z)} = \sum_{n=0}^\infty\red{(-1)^{n-1}}\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})z^{2n}[/mm]
Dies ist meiner unmassgeblichen Meinung nach nicht richtig. Der rot markierte Faktor [mm] $(-1)^{n-1}$ [/mm] müsste richtiger [mm] $(-1)^n$ [/mm] sein. Eine kurze Rückfrage bei einem CAS bestätigt dies:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Koeffizienten, die das CAS für z/sin(z) selbständig bestimmt hat, stimmen mit den Koeffizienten, die diese Formel mit [mm] $(-1)^n$ [/mm] anstelle von [mm] $(-1)^{n-1}$ [/mm] liefert, exakt überein.
Dass [mm] $(-1)^{n-1}$ [/mm] nicht richtig sein kann ist aus der Umformung aus meiner letzten Antwort auch klar ersichtlich (oder, wenn nicht: schreibe mir dies bitte): und zwar wenn man nur die geraden Potenzen von [mm] $z^{2n}$ [/mm] stehen lässt (denn, wie ich gesagt habe und sturerweise wiederhole: z/sin(z) ist eine gerade Funktion):
[mm]\frac{z}{\sin(z)}=\ldots=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}\left(2-2^n\right)i^n z^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_{2n}}{(2n)!}\left(2-2^{2n}\right)\red{i^{2n}}z^{2n}=\sum_{n=0}^\infty \red{(-1)^n}\frac{B_{2n}}{(2n)!}\left(2-2^{2n}\right)z^{2n}[/mm]
Beim Übergang von links nach rechts beim dritten Gleichheitszeichen habe ich einfach die ungeraden Potenzen von $z$ weggelassen. Der Faktor [mm] $(-1)^n$ [/mm] in der letzten Summe rechts ergibt sich aus [mm] $i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n$.
[/mm]
>
> Wenn ich jetzt z.B.
> [mm]B_{0}[/mm] mit n= 0,
> [mm]B_{1}[/mm] mit n=1/2
Wie kommst Du denn auf die Idee, für n etwas anderes als eine natürliche Zahl einzusetzen? Der Summationsindex ist doch aus [mm] $\IN$.
[/mm]
> [mm]B_{2}[/mm] mit n=1
> entwickle bleibt als Reihe stehen:
>
> [mm]B_{0}[/mm] * 0 + [mm]B_{1}[/mm] * 0 + [mm]B_{2}x^{2}[/mm] = [mm]\bruch{x}{sin(x)}[/mm]
Wenn schon hättest Du vor [mm] $B_0$ [/mm] ein Minus hinschreiben müssen, denn Du hättest ja eben den (falschen) Faktor [mm] $(-1)^{0-1}$ [/mm] berücksichtigen sollen.
Verwendet man den richtigen Faktor [mm] $(-1)^n$ [/mm] so erhält man statt dessen:
[mm]\frac{z}{\sin(z)}=B_0+B_2 z^2-\frac{7}{12}B_4 z^4+\frac{31}{360}B_6-\frac{127}{20160}B_8+-\cdots\red{=}1+\frac{1}{6}z^2+\frac{7}{360}z^4+\frac{31}{15120}z^6+\frac{127}{604800}z^8+\cdots[/mm]
Das zweite Gleichheitszeichen gilt aufgrund Deiner Entwicklung von [mm] $\frac{z}{\sin(z)}$. [/mm] Durch Vergleich der Koeffizienten derselben Potenz von $z$ links und rechts des rot markierten Gleichheitszeichens, erhält man [mm] $1=B_0$, $1/6=B_2$, $7/360=-7B_4/12$, [/mm] $31/15120=31/360 [mm] B_6$ [/mm] usw.
Auflösen nach [mm] $B_{2n}$ [/mm] ergibt: [mm] $B_0=1$, $B_2=1/6$, $B_4=-1/30$, $B_6=1/42$ [/mm] usw. Dies sind aber in der Schreibweise von Wikipedia die [mm] $\beta_0, \beta_2, \beta_4, \beta_6$ [/mm] usw. Da Deine Aufgabenstellung die Bernoullizahlen [mm] $B_1, B_2$ [/mm] und [mm] $B_3$ [/mm] wünscht gehe ich davon aus, dass nicht die [mm] $\beta_{n}$ [/mm] (für $n=1,2,3$) gefragt sind, sondern die von Wikipedia mit [mm] $B_n$ [/mm] bezeichneten Zahlen, die zu den [mm] $\beta_n$ [/mm] in der Beziehung: [mm] $B_n=(-1)^{n+1}\beta_{2n}$ [/mm] stehen.
Also wäre für die [mm] $B_n$ [/mm] in diesem Sinne aufgefasst: [mm] $B_1=(-1)^{1+1}\beta_{2\cdot 1}=1\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$, $B_2=(-1)^{2+1}\beta_{2\cdot 2}=(-1)\cdot\left(-\frac{1}{30}\right)=\frac{1}{30}$ [/mm] und [mm] $B_3=(-1)^{3+1}\beta_{2\cdot 3}=1\cdot \frac{1}{42}=\frac{1}{42}$. [/mm] Aber ganz sicher, ob wirklich die [mm] $B_n$ [/mm] oder ob doch nicht vielleicht die [mm] $\beta_n$ [/mm] (gemäss Benennung im Wikipedia-Artikel) gemeint sind, bin ich nicht.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Tim82 |
VIELEN DANK
ich habs durch Dich verstanden! :)
Gestern war ich deutlich zu lange an dieser Aufgabe ran, aber im nachhinein hab ich es jetzt klar nachvollziehen können. Nochmals Danke!
meine Quelle war:
http://www.scribd.com/doc/4549/Math-cheat-sheet-by-Dr-Seiden
da stand es so drin...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> VIELEN DANK
> ich habs durch Dich verstanden! :)
>
> Gestern war ich deutlich zu lange an dieser Aufgabe ran,
> aber im nachhinein hab ich es jetzt klar nachvollziehen
> können. Nochmals Danke!
>
> meine Quelle war:
>
> http://www.scribd.com/doc/4549/Math-cheat-sheet-by-Dr-Seiden
> da stand es so drin...
Nein, nicht ganz. Du hattest geschrieben:
[mm]\frac{x}{\sin(x)}= \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})x^{2n} [/mm]
(wobei ich mir erlaubt habe, den Variablennamen $z$ auf der rechten Seite durch $x$ zu ersetzen.
Aber in dem "Cheat Sheet" steht
[mm]\frac{x}{\sin(x)}=\sum_{i=0}^\infty (-1)^{i-1}\frac{(4^i-2)B_{2i}x^{2i}}{(2i)!}[/mm]
(etwas lästig ist nur der Summationsindex $i$, der beim Rechnen im Komplexen natürlich so ziemlich die schlechteste Wahl sein drüfte). Dies stimmt mit meinem Vorschlag
[mm]\frac{x}{\sin(x)}= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2-2^{2n})x^{2n}[/mm]
überein, weil [mm] $4^i=(2^2)^i=2^{2i}$ [/mm] und daher [mm] $4^i-2=(-1)(2-2^{2i})$ [/mm] ist, so dass der hier ausgeklammerte Faktor $(-1)$ mit dem Faktor [mm] $(-1)^{i-1}$ [/mm] zu [mm] $(-1)^i$ [/mm] verrechnet werden kann. Moral von der Geschicht': wenn schon in einem "Cheat Sheet" abschreiben, dann bitte genau abschreiben...
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