Bernoullische Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Dixiklo |
| Aufgabe | | Beweise, dass die Bernoullische Ungleichung BU auch für n-1 gilt! |
Hallo!
Ich solle die oben gegebene Aufgabe lösen, komme aber nicht drauf wie. Die "normale" BU verstehe ich!
Also wenn die Formel
[mm] \bruch{a^{n} - b^{n}}{a-b} [/mm] = [mm] a^{n-1}+ a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+ b^{n-1}
[/mm]
durch n-1 ersetzt werden soll so gilt:
[mm] \bruch{a^{n-1} - b^{n-1}}{a-b} [/mm] = [mm] a^{n-2}+ a^{n-3}b+....+ab^{n-3}+ b^{n-2}
[/mm]
zunächst multiplitziere ich die rechte Seite mit (a-b):
[mm] a^{n-1} [/mm] - [mm] b^{n-1}= (a-b)(a^{n-2}+ a^{n-3}b+....+ab^{n-3}+ b^{n-2})
[/mm]
nun mulitpliziere ich mit a um links [mm] a^{n} [/mm] zu erhalten:
[mm] a^{n} [/mm] - [mm] ab^{n-1}= (a-b)(a^{n-1}+ a^{n-2}b+....+a^{2}b^{n-3}+ ab^{n-2})
[/mm]
jetzt "stört" mich [mm] ab^{n-1}, [/mm] weshalb ich hiermit addiere:
[mm] a^{n}=.....
[/mm]
von hier an verstehe ich dann nichts mehr, da ich [mm] ab^{n-1} [/mm] in die lange Klammer auf die rechte SEite hineinnehmen würde:
also [mm] a^{n}=(a-b)(a^{n-1}+ a^{n-2}b+....+a^{2}b^{n-3}+ ab^{n-2}+ab^{n-1})
[/mm]
so hab ich aber keine Ahnung wie ich auf ein richtiges Beweisergebnis kommen soll, also auf die BU:
[mm] \bruch{a^{n} - b^{n}}{a-b} [/mm] = [mm] a^{n-1}+ a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+ b^{n-1}
[/mm]
????
Kann mir bitte jemand helfen würde mich freuen, dies ENDLICH zu verstehen 
LG Dixi
Ich habe diese Aufgabe in KEIN anderes Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Fr 02.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas ist komisch. die BU ist
[mm] (1+x)^n \geq [/mm] 1+nx.
Du hantierst hier mit einer anderen Formel rum.
Dabei ist der Satz :
"von hier an verstehe ich dann nichts mehr, da ich $ [mm] ab^{n-1} [/mm] $ in die lange Klammer auf die rechte SEite hineinnehmen würde:"
falsch angewandt, wenn du ihn in die Klammer rein nehmen würdest dann doch nur als [mm] ab^{n-1}/(a-b)
[/mm]
Du musst also schon ausmultiplizieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Dixiklo |
| Aufgabe | | Danke für ie Antwort, ich habe noch eine frage hierzu und eine weitere: |
Also wir haben weitergerechnet:
[mm] a^{n} [/mm] = [mm] (a-b)(a^{n-1} [/mm] + [mm] a^{n-2}b+....+ab^{n-2}) [/mm] + [mm] (a-b)^{n-1} +b^{n}
[/mm]
also schein [mm] ab^{n-1} [/mm] auf die rechte Seite gebracht: [mm] (a-b)^{n-1} +b^{n}
[/mm]
zu sein.
Hätte ich nun wie du sagst [mm] \bruch{b^{n-1}}{a-b} [/mm] also ok. den Bruch kann man auch als [mm] (a-b)^{n-1} [/mm] darstellen, aber woher kommt das [mm] b^{n}?
[/mm]
mh.... irgendwo sitzt hier der Denkfehler.
Übrigens, ich weiß dass das nicht direkt die BU ist, sondern nur eine Rechnung mit der Vorraussetzung von dieser, aber die BU alleine wäre mienem Prof wohl zu einfach....leider
Er hat dann auch noch Bemerkungen zur BU angeführt, dabei kommt unter anderem folgendes vor:
[mm] 1-\bruch{x}{n-1} [/mm] > [mm] n(1-\bruch{x}{n-1})^{n-1} [/mm] * [mm] (\bruch{x}{n-1})
[/mm]
im nächsten Schritt steht:
1 > [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{-1}
[/mm]
aber müsste hier nicht eigentlich rechts [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{n-1} [/mm] stehen?
Hiiiiiiiiiiilfe..... zu viele Variablen und zu wenig Zahlen :(
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Fr 02.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich versteh so einiges nicht an Deiner Fragestellung.
1. Was willst Du eigentlich Beweisen.
a) Die Bernoullische Ungleichung oder
b) Die Gleichung [mm] \bruch{a^{n}-b^{n}}{a-b}=\summe_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}*b^k
[/mm]
2. Willst Du beweisen das gilt [mm] 1-\bruch{x}{n-1}>n(1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}*(\bruch{x}{n-1})
[/mm]
3. 1 > [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{-1} [/mm] das ist i.a. falsch, z.B x=1 und n=11
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Dixiklo |
Also gut von vorne:
Die gleichung [mm] \bruch{a^{n} - b^{n}}{a-b} [/mm] =....
hat unser Prof als Vorbemerkung, für die Bernoullische ungleichung vorausgesetzt
Durch ersetzen von a, bzw. b in ..... gelangte er zu den beiden Bernoullischen Ungleichungen:
1. BU [mm] \bruch{a^{n} - b^{n}}{a-b}
und 2. BU: [mm] \bruch{a^{n} - b^{n}}{a-b}>n*b^{n-1}
[/mm]
der Rest sind "Bemerkungen" hierzu
So auch die Bemerkung:
[mm] (1-\bruch{x}{n})^{n} [/mm] > [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}
[/mm]
Dies gilt es mit folgender BU zu beweisen:
a = [mm] (1-\bruch{x}{n}) [/mm]
[mm] b=(1-\bruch{x}{n-1}) [/mm] b<a
So, dies wurde jetzt von unserm Prof in die 2.BU eingesetzt:
also:
[mm] (1-\bruch{x}{n})^{n} [/mm] - [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{n} [/mm] > n* [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{n-1} [/mm] * [mm] [(1-\bruch{x}{n}) [/mm] - [mm] (1-\bruch{x}{n-1})]
[/mm]
durch umformen kamen wir lt- Professor irgendwann auf:
[mm] (1-\bruch{x}{n})^{n} [/mm] - [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{n-1} [/mm] * [mm] (1-\bruch{x}{n-1}) [/mm] > [mm] n(1-\bruch{x}{n-1})^{n-1} [/mm] * [mm] (\bruch{x}{n-1})
[/mm]
So meine genaue Frage lautet nur: wie komme ich von dieser Gleichung auf:
[mm] (1-\bruch{x}{n})^{n} [/mm] > [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}
[/mm]
Vielen Dank, und bitte beantwortet mir nach Möglichkeit auch noch meine erste Frage von vorhin, warum:
[mm] a^{n} [/mm] = [mm] (a-b)*(a^{n-1} [/mm] + [mm] a^{n-2}b+....+ab{n-2}) [/mm] + [mm] (a-b)^{n-1} [/mm] + [mm] b^{n}
[/mm]
Lg Dixi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Fr 02.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Genauer:
> Also gut von vorne:
>
> Die gleichung [mm]\bruch{a^{n} - b^{n}}{a-b}[/mm] =....
> hat unser Prof als Vorbemerkung, für die Bernoullische
> ungleichung vorausgesetzt
>
> Durch ersetzen von a, bzw. b in ..... gelangte er zu den
> beiden Bernoullischen Ungleichungen:
>
> 1. BU [mm]\bruch{a^{n} - b^{n}}{a-b}
>
> und 2. BU: [mm]\bruch{a^{n} - b^{n}}{a-b}>n*b^{n-1}[/mm]
>
Die Ungleichungen gelten ja nicht allgemein, z.B. n=1 und a [mm] \ne [/mm] b würde bedeuten 1 < 1 was falsch ist. n=2 würde bedeuten a+b < 2a was auch nicht allg. gilt. Kannst Du die Voraussetzungen genauer formulieren.
Übrigens kenne ich diese Ungleichungen nicht unter dem Namen Bernoullische Ungleichungen. Zum Beweis braucht man auch nicht die übliche Bernoullische Ungleichung [mm] (1+x)^n\ge [/mm] 1+nx. Frag mal den Prof ob er sich nicht vertan hat.
> der Rest sind "Bemerkungen" hierzu
>
> So auch die Bemerkung:
>
> [mm](1-\bruch{x}{n})^{n}[/mm] > [mm](1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}[/mm]
>
> Dies gilt es mit folgender BU zu beweisen:
>
> a = [mm](1-\bruch{x}{n})[/mm]
>
> [mm]b=(1-\bruch{x}{n-1})[/mm] b<a
>
Durch b < a ergibt sich eine Einschränkungen für x. Kannst Du die formulieren?
> So, dies wurde jetzt von unserm Prof in die 2.BU
> eingesetzt:
>
> also:
>
> [mm] (1-\bruch{x}{n})^{n}-(1-\bruch{x}{n-1})^{n}>n*(1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}*[(1-\bruch{x}{n})-(1-\bruch{x}{n-1})]
[/mm]
>
> durch umformen kamen wir lt- Professor irgendwann auf:
>
> [mm] (1-\bruch{x}{n})^{n}-(1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}*(1-\bruch{x}{n-1})>n(1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}*(\bruch{x}{n-1})
[/mm]
>
> So meine genaue Frage lautet nur: wie komme ich von dieser
> Gleichung auf:
>
> [mm](1-\bruch{x}{n})^{n}[/mm] > [mm](1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}[/mm]
>
Den Term [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}*(1-\bruch{x}{n-1}) [/mm] von der linken Seite auf die rechte Seite bringen und [mm] (1-\bruch{x}{n-1})^{n-1} [/mm] auf der rechten Seite ausklammern führt auf
[mm] (1-\bruch{x}{n})^{n}>(1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}(x+1)
[/mm]
Und wegen b<a muss x>0 gelten und deshalb x+1>1 also [mm] (1-\bruch{x}{n})^{n}>(1-\bruch{x}{n-1})^{n-1}
[/mm]
>
> Vielen Dank, und bitte beantwortet mir nach Möglichkeit
> auch noch meine erste Frage von vorhin, warum:
>
> [mm]a^{n}[/mm] = [mm](a-b)*(a^{n-1}[/mm] + [mm]a^{n-2}b+....+ab{n-2})[/mm] +
> [mm](a-b)^{n-1}[/mm] + [mm]b^{n}[/mm]
>
Nach Umformung steht da
[mm] \bruch{a^n-b^n}{a-b}=\summe_{k=1}^{n-1}a^{n-1-k}b^k
[/mm]
was man am besten durch vollständige Induktion zeigt.
IA für n=1 ist klar.
Also ist zu zeigen das [mm] \summe_{k=1}^{n}a^{n-k}b^k=\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm] gilt.
[mm] \summe_{k=1}^{n}a^{n-k}b^k= \summe_{k=1}^{n-1}a^{n-k}b^k+b^n=a*\summe_{k=1}^{n-1}a^{n-1-k}b^k+b^n=a*\bruch{a^n-b^n}{a-b}+b^n=\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}
[/mm]
> Lg Dixi
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