Bernoullische Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Mo 08.11.2010 | | Autor: | KateK |
| Aufgabe | Bernoulli-Ungleichung: Sei x [mm] x\in\IR [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] -1 Dann gilt: [mm] (1+x)^n [/mm] [mm] \ge [/mm] 1 + nx für alle [mm] n\in\IN_1 [/mm]
Teil a)
Beweisen sie diese Aussage
Tipp: Vollständige Induktion
Induktionsanfang ist simple.
Für den Induktionsschritt müssen sie das Anordnungsaxiom (A4) verwenden.
Teil b)
Verdeutlichen sie die Aussage der Bernoulli-Ungleichung durch graphische Darstellung für n = 2, n = 3, n = 4 |
Ich habe diese Frage nirgendwo anders veröffentlicht.
Hier ist mein Lösungsansatz für Teil a)
Sei A(n): [mm] (1+x)^n [/mm] [mm] \ge [/mm] 1 + nx
Indunktionsanfang:
A(1) ist wahr, da 1+x = 1+x ist
Induktionsschritt:
[mm] (1+x)^n^+^1 [/mm] [mm] \ge [/mm] 1+(n+1)x.
[mm] (1+x)^n^+^1 [/mm] = [mm] (1+x)^n [/mm] [mm] * [/mm] (1+x). Da x [mm] \ge [/mm] -1 ist, ist 1+x [mm] \ge [/mm] 0.
--> [mm] (1+x)^n^+^1 [/mm] [mm] \ge [/mm] (1+nx) [mm] * [/mm] (1+x)
--> [mm] (1+x)^n^+^1 [/mm] [mm] \ge [/mm] 1+(n+1)x+[mm] nx^2 [/mm]
Da [mm]x^2[/mm] [mm] \ge [/mm] 0 für jedes [mm] x\in\IR [/mm] gilt, so gilt auch: [mm] nx^2 [/mm] [mm] \ge [/mm] 0, [mm] n\in\IN [/mm].
Daraus folgt: [mm] (1+x)^n^+^1 [/mm] [mm] \ge [/mm] 1+(n+1)x.
Ist die Schreibweise so richtig?
Ist die Lösung so vollständig?
Zu Teil b)
da bräuchte ich eine Anfangshilfe, weil ich nicht weiß, wie ich beginnen soll
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Mo 08.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Bernoulli-Ungleichung: Sei x [mm]x\in\IR[/mm] mit x [mm]\ge[/mm] -1 Dann
> gilt: [mm](1+x)^n[/mm] [mm]\ge[/mm] 1 + nx für alle [mm]n\in\IN_1[/mm]
>
> Teil a)
> Beweisen sie diese Aussage
> Tipp: Vollständige Induktion
> Induktionsanfang ist simple.
> Für den Induktionsschritt müssen sie das Anordnungsaxiom
> (A4) verwenden.
>
> Teil b)
> Verdeutlichen sie die Aussage der Bernoulli-Ungleichung
> durch graphische Darstellung für n = 2, n = 3, n = 4
> Ich habe diese Frage nirgendwo anders veröffentlicht.
> Hier ist mein Lösungsansatz für Teil a)
>
> Sei A(n): [mm](1+x)^n[/mm] [mm]\ge[/mm] 1 + nx
> Indunktionsanfang:
> A(1) ist wahr, da 1+x = 1+x ist
> Induktionsschritt:
> [mm](1+x)^n^+^1[/mm] [mm]\ge[/mm] 1+(n+1)x.
> [mm](1+x)^n^+^1[/mm] = [mm](1+x)^n[/mm] [mm]*[/mm] (1+x). Da x [mm]\ge[/mm] -1 ist, ist 1+x
> [mm]\ge[/mm] 0.
> --> [mm](1+x)^n^+^1[/mm] [mm]\ge[/mm] (1+nx) [mm]*[/mm] (1+x)
> --> [mm](1+x)^n^+^1[/mm] [mm]\ge[/mm] 1+(n+1)x+ [mm] nx^2[/mm]
> Da [mm]x^2[/mm] [mm]\ge[/mm] 0 für
> jedes [mm]x\in\IR[/mm] gilt, so gilt auch: [mm]nx^2[/mm] [mm]\ge[/mm] 0, [mm]n\in\IN [/mm].
>
> Daraus folgt: [mm](1+x)^n^+^1[/mm] [mm]\ge[/mm] 1+(n+1)x.
>
> Ist die Schreibweise so richtig?
> Ist die Lösung so vollständig?
Man kann immer noch ausführlicher werden, aber ich denke mal, daß es so geht. Auf jeden Fall steht nix Falsches da.
> Zu Teil b)
> da bräuchte ich eine Anfangshilfe, weil ich nicht weiß,
> wie ich beginnen soll
Das ist nun wirkliche der einfache Teil. Links steht ein Polynom und rechts eine Gerade, die sollst du in ein Koordinatensystem zeichnen und staunen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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