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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Bernoullische Ungleichung vF
Bernoullische Ungleichung vF < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bernoullische Ungleichung vF: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:57 Fr 04.01.2008
Autor: theo

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN [/mm] mit n > 1. Seien [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] positive reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass

[mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] (1 + [mm] a_{j}) [/mm] > 1 + [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{j} [/mm]

Hallo Allesamt! Ich habe Probleme mit der vollständigen Induktion an dieser Ungleichung. Die Bernoullische Ungleichung konnte ich problemlos lösen, diese allerdings - mit variablen Faktoren - bereitet mir Probleme!
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Bernoullische Ungleichung vF: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:41 Fr 04.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo theo,


wo genau hakt's denn?

Ich vermute im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ ?

Den Induktionsanfang für $n=2$ kriegste hin, oder?

Einfach mal hinschreiben und vereinfachen....


ok, Sei [mm] $n\in\IN, [/mm] n>1$ beliebig und gelte die Induktionsvoraussetzung [mm] $\red{\prod\limits_{j=1}^n(1+a_j)>1+\sum\limits_{j=1}^na_j}$ [/mm]

Dann soll die Beh. gefälligst auch für $n+1$ gelten, also es soll gelten [mm] $\prod\limits_{j=1}^{n+1}(1+a_j)>1+\sum\limits_{j=1}^{n+1}a_j$ [/mm]

Das müssen wir zeigen, nehmen wir also die linke Seite her und formen sie ein wenig um, um die Induktionsvoraussetzung einfließen lassen zu können:

[mm] $\prod\limits_{j=1}^{n+1}(1+a_j)=\left[\red{\prod\limits_{j=1}^{n}(1+a_j)}\right]\cdot{}(1+a_{n+1})$ [/mm]

Auf den Ausdruck in den eckigen Klammern können wir nun die Induktionsvor. anwenden

[mm] $>\left[\red{1+\sum\limits_{j=1}^na_j}\right]\cdot{}(1+a_{n+1})$ [/mm]

[mm] $=1+a_{n+1}\cdot{}\sum\limits_{j=1}^na_j+\left(\sum\limits_{j=1}^na_j\right)+a_{n+1}$ [/mm]

alles ausmultipliziert - nun klammern wir die Summe aus

[mm] $=(1+a_{n+1})+\underbrace{(1+a_{n+1})}_{>1, \text{da} a_{n+1}>0}\cdot{}\sum\limits_{j=1}^na_j$ [/mm]


[mm] $>(1+a_{n+1})+\sum\limits_{j=1}^na_j=....$ [/mm]

Puh, [sorry] für den  Bockmist vorher ;-)


LG und [gutenacht]

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Bernoullische Ungleichung vF: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:45 Fr 04.01.2008
Autor: schachuzipus

Ohoh,

tschuldigung, da steht ja rechte ne Summe, hab ich falsch gelesen.

Ich blinde Nuss - ich versuch's mal hinzustricken...

[sorry]

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Bernoullische Ungleichung vF: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:20 Fr 04.01.2008
Autor: theo

Blöde Frage, aber wieso vergleichst du gegen Ende zwei Summen miteinander? Sollte ich nicht irgendwann wieder auf den ersten Ausdruck zurückkommen?

Liebe Grüße
Bezug
                        
Bezug
Bernoullische Ungleichung vF: Induktionsschritt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Fr 04.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Theo,

[willkommenmr] !!


Was meinst Du mit "ersten Ausdruck"? Schachuzipus hat hier doch im Induktionsschritt gezeigt, dass gilt :$ [mm] \prod\limits_{j=1}^{n+1}(1+a_j)>1+\sum\limits_{j=1}^{n+1}a_j [/mm] $ .

Dabei ist er vom Term auf der linken Seite ausgegenagen und hat durch diverse Umformungen sowie Anwendung der Induktionsvoraussetzung in eine (Un-)Gleichheitskette erzeugt:

$$ [mm] \red{\prod\limits_{j=1}^{n+1}(1+a_j)} [/mm] \ = \ ... \ > \ ... \ [mm] \red{>1+\sum\limits_{j=1}^{n+1}a_j}$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Bernoullische Ungleichung vF: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:00 Fr 04.01.2008
Autor: schachuzipus

Hi nochmal,

hab's hingebastelt, nochmal [sorry] - bin blind ;-)


Bis dann

schachuzipus
Bezug
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