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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 10.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass mit n [mm] \in \IN [/mm] für das n-te Bernsteinpolynom der Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] auf [0,1] gilt:
[mm] p_{n}^{x^{2}}(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}x(1-x)
[/mm]
Hinweis: Formen Sie unter Benutzung von [mm] p_{n}^{x}(x) [/mm] = x
die Funktion [mm] p_{n}^{x^{2}}(x) [/mm] - [mm] \bruch{x}{n}
[/mm]
in eine Summe um, und klammern Sie dort [mm] \bruch{n-1}{n}x^{2} [/mm] aus |
Hallo.
Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.
Rein formal wäre doch der Ansatz:
[mm] p_{n}^{x^{2}}(x) [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n}f(\bruch{j}{n})x^{j}(1-x)^{n-j}
[/mm]
[mm] p_{n}^{x^{2}}(x) [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n}\bruch{j^{2}}{n^{2}}x^{j}(1-x)^{n-j}
[/mm]
Aber jetzt habe ich schon keine Ahnung mehr und auch der Hinweis hilft mir nicht wirklich weiter :(
Danke für Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 10.04.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo SolRakt,
> Zeigen Sie, dass mit n [mm]\in \IN[/mm] für das n-te
> Bernsteinpolynom der Funktion f(x) = [mm]x^{2}[/mm] auf [0,1] gilt:
>
> [mm]p_{n}^{x^{2}}(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}x(1-x)[/mm]
>
> Hinweis: Formen Sie unter Benutzung von [mm]p_{n}^{x}(x)[/mm] = x
> die Funktion [mm]p_{n}^{x^{2}}(x)[/mm] - [mm]\bruch{x}{n}[/mm]
> in eine Summe um, und klammern Sie dort
> [mm]\bruch{n-1}{n}x^{2}[/mm] aus
>
> Hallo.
>
> Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.
>
> Rein formal wäre doch der Ansatz:
>
> [mm]p_{n}^{x^{2}}(x)[/mm] = [mm]\summe_{j=0}^{n}f(\bruch{j}{n})\red{{n\choose j}}x^{j}(1-x)^{n-j}[/mm]
>
> [mm]p_{n}^{x^{2}}(x)[/mm] = [mm]\summe_{j=0}^{n}\bruch{j^{2}}{n^{2}}\red{{n\choose j}}x^{j}(1-x)^{n-j}[/mm]
>
> Aber jetzt habe ich schon keine Ahnung mehr und auch der
> Hinweis hilft mir nicht wirklich weiter :(
Nach dem Hinweis sollst du erstmal [mm]p_n^{x^2}(x)-\frac{x}{n}[/mm] als Summe darstellen. Mit [mm]p_n^x(x)=x[/mm] ergibt das
[mm]p_n^{x^2}(x)-\frac{x}{n}=p_n^{x^2}(x)-\frac{1}{n}p_n^x(x)=\sum_{i=0}^n\frac{i^2}{n^2}{n\choose i}x^i (1-x)^{n-i}-\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n\frac{i}{n}{n\choose i}x^i(1-x)^{n-i}[/mm]
[mm]=\sum_{i=0}^n\frac{i^2-i}{n^2}{n\choose i}x^i(1-x)^{n-i}=\sum_{i=0}^n\frac{i(i-1)}{n^2}{n\choose i}x^i(1-x)^{n-i}[/mm]
So, jetzt bist du dran!
Du sollst jetzt [mm]\frac{n-1}{n}x^2[/mm] ausklammern: forme dazu [mm]\frac{i(i-1)}{n^2}{n\choose i}[/mm] um. Am Schluss musst du noch eine Indexverschiebung machen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 10.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Erstmal vielen Dank für die Hilfe.
Ich hab mal versucht, das umzuformen:
[mm] \bruch{i(i-1)}{n^{2}}\bruch{n!}{i!(n-i)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n^{2}}\bruch{n!}{(i-2)!(n-i)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n}\bruch{(n-1)!}{(i-2)!(n-i)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{n-1}{n}\bruch{(n-2)!}{(i-2)!(n-i)!}
[/mm]
Stimmt das bis hierhin?
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Hallo Solrakt,
> Erstmal vielen Dank für die Hilfe.
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> Ich hab mal versucht, das umzuformen:
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> [mm]\bruch{i(i-1)}{n^{2}}\bruch{n!}{i!(n-i)!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{n^{2}}\bruch{n!}{(i-2)!(n-i)!}[/mm]
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> = [mm]\bruch{1}{n}\bruch{(n-1)!}{(i-2)!(n-i)!}[/mm]
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> = [mm]\bruch{n-1}{n}\bruch{(n-2)!}{(i-2)!(n-i)!}[/mm]
>
> Stimmt das bis hierhin?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:15 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Fulla |
Hi,
jetzt mach daraus wieder einen Binomialkoeffizienten.
Lieben Gruß,
Fulla
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