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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Fr 22.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Berechne den Berührkreis (also r" und M") zum Tangentialkegel mit der Spitze im Punkt P [mm] \vektor{7 \\ 2\\ 6} [/mm] an die Kugel K mit M [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -6} [/mm] und r = [mm] 5*\wurzel(6). [/mm] |
Moin Moin,
ich habe 1. versucht über den Thaleskreis die Berührpunkte zu ermitteln, komme da aber nicht weiter...
und 2. über den Pythagoras und verschiedenen Winkelfunktionen... r" und M" zu berechnen...
Und ich frage mich außerdem, ob es noch einen einfachereren Lösungsweg gibt?
0. Kugelgleichung, [mm] \overrightarrow{PM} [/mm] und [mm] |\overrightarrow{PM}| [/mm] berechnen
K: [mm] (x_1 -1)^2 [/mm] + [mm] (x_2 -2)^2 [/mm] + [mm] (x_3 +6)^2 [/mm] = 150
[mm] \overrightarrow{PM} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -6} [/mm] - [mm] \vektor{7 \\ 2\\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ 0\\ -12}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{PM}| [/mm] = [mm] \wurzel{(-6)^2+0^2+(-12)^2} [/mm] = [mm] 6*\wurzel{5}
[/mm]
1.
Thaleskreis
Der Mittelpunkt des Thaleskreises liegt in der Mitte des Vektors [mm] \overrightarrow{PM}, [/mm] d.h. M' = [mm] \vektor{7 \\ 2\\ 6} [/mm] - [mm] 0,5*\vektor{-6 \\ 0\\ -12} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2\\ 0}
[/mm]
Der Radius des Thaleskreises ist die Hälfte des Betrages von [mm] \overrightarrow{PM}, [/mm] d.h. r' = [mm] 0,5*6*\wurzel{5}
[/mm]
Ich stelle den Thaleskreis auf und suche die gemeinsamen Punkte mit der Kugel K. Auf diese Weise die Berührpunkte zu erhalten.
K' : [mm] (x_1 -4)^2 [/mm] + [mm] (x_2 -2)^2 [/mm] + [mm] x_3^2 [/mm] = 45
Gleichungssystem
I. [mm] x_1^2 -2x_1 [/mm] +1 + [mm] x_2^2 -4x_2 [/mm] +4 [mm] +x_3^2 +12x_3 [/mm] +36 = 150
II [mm] x_1^2 -8x_1 [/mm] +16 [mm] -x_2^2 -4x_2 [/mm] +4 [mm] +x_3^2 [/mm] =45
I.-II.
[mm] x_1 +2x_3 [/mm] = 14
Hier komme ich aber nicht weiter. Hat jemand noch eine Idee???
2.
2.1. Berührkreisradius r" über Pythagoras ... und Winkelfunktion berechnen
Ich betrachte das Dreieck PBM wobei B ein Berührpunkt ist und x = | [mm] \overrightarrow{PB} [/mm] |, r = | [mm] \overrightarrow{MB} [/mm] |
[mm] x^2 [/mm] = [mm] |\overrightarrow{PM}|^2 [/mm] – [mm] r^2 [/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] (6*\wurzel{5})^2 [/mm] - 150
x = [mm] \wurzel{30} [/mm]
Jetzt kann ich [mm] \alpha [/mm] berechnen, der Winkel zwischen MPB
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{r}{|\overrightarrow{PM}|} [/mm] = [mm] \bruch{5*\wurzel{6}}{6*\wurzel{5}} [/mm] => [mm] \alpha [/mm] = 65,91°
Ich betrachte dann das Dreieck PBM'' und den Winkel [mm] \alpha [/mm] = M"PB (s.o.),
wobei dann die Strecke M"B = r" ist.
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{r"}{x} [/mm] => r" = 5.
2.2. Berührkreismittelpunkt über Winkelfunktion berechnen.
Ich betrachte weiterhin das Dreieck PBM".
Die Strecke z = | [mm] \overrightarrow{PM"} [/mm] |
tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{r"}{z} [/mm] => z [mm] \approx [/mm] 2,236
Da M" auf der Strecke [mm] \overline{PM} [/mm] liegen muss, gehe ich von P das [mm] \bruch{z}{|\overrightarrow{PM}|}-fache [/mm] in Richtung [mm] \overrightarrow{PM} [/mm]
M" = [mm] \vektor{7 \\ 2\\ 6} [/mm] + [mm] 0,17*\vektor{4 \\ 2\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{7,68 \\ 2,34\\ 6} [/mm]
Korrektur
M" = [mm] \vektor{7 \\ 2\\ 6} [/mm] + 0,1667* [mm] \vektor{-6 \\ 0\\ -12} \approx \vektor{6 \\ 2\\ 4} [/mm]
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Fr 22.01.2016 | | Autor: | chrisno |
Ich würde das wie folgt angehen, vielleicht geht es auch eleganter.
Ich betrachte eine Ebene, die den Mittelpunkt der Kugel und die Spitze des Kegels enthält.
Die Verbindungsstrecke der beiden Punkte, ein Radius der Kugel und die Strecke von der Spitze des Kegels zum Berührpunkt bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Nur die letzte Länge fehlt, sie wird aber von Pythagoras verraten.
Die Höhe auf die Verbindungsstrecke der beiden Punkte ist der gesuchte Radius. Weiterhin gibt es wieder ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe und dem Kugelradius. Das verrät Dir, wie weit Du vom Kugelmittelpunkt in Richtung Kegelspitze gehen musst, um zum Berührkreismittelpunkt zu kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Fr 22.01.2016 | | Autor: | weduwe |
eine weitere Möglichkeit:
mit a =|PB| mit B ein Berührpunkt und c =|PM| hat man
die Höhe [mm]r =\sqrt{p\cdot(c-p)}[/mm] mit [mm]p=\frac{a^2}{c}[/mm]
und weiters den Mittelpunkt K des Schnittkreises
[mm]\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+\frac{p}{c}\cdot\overrightarrow{PM}[/mm]
[mm]\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+\frac{a^2}{c^2}\cdot\overrightarrow{PM}\to K(6/2/4)[/mm]
Anmerkung: wenn du die Punkte P und M um (1,2,-6) verschiebst, liegen sie in der xz - Ebene und du kannst die Idee von chryso aufgreifen, denke ich.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:45 Sa 23.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
> eine weitere Möglichkeit:
>
> mit a =|PB| mit B ein Berührpunkt und c =|PM| hat man
>
> die Höhe [mm]r =\sqrt{p\cdot(c-p)}[/mm] mit [mm]p=\frac{a^2}{c}[/mm]
Du verwendest also sowohl den Kathetensatz wie den Höhensatz...
meine Variable x [mm] \hat= [/mm] a
mein Schnittkreisradius r" [mm] \hat= [/mm] r
meiner Strecke | [mm] \overrightarrow{PM} [/mm] | [mm] \hat= [/mm] c
Es gilt:
[mm] x^2 [/mm] = p* | [mm] \overrightarrow{PM} [/mm] |
=> p = [mm] \bruch{\wurzel{30}^2 }{6*\wurzel{5}} [/mm] = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
und
r" = [mm] \wurzel{\wurzel{5}*(6*\wurzel{5}-\wurzel{5})} [/mm] = 5.
ok.
> und weiters den Mittelpunkt K des Schnittkreises
> [mm]\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+\frac{p}{c}\cdot\overrightarrow{OM}[/mm]
Müsste ich nicht von M aus in Richtung [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] gehen?
> [mm]\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+\frac{a^2}{c^2}\cdot\overrightarrow{OM}\to K(6/2/4)[/mm]
Müsste ich nicht von P aus in Richtung [mm] \overrightarrow{PM} [/mm] gehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Sa 23.01.2016 | | Autor: | hase-hh |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Sa 23.01.2016 | | Autor: | weduwe |
> > eine weitere Möglichkeit:
> >
> > mit a =|PB| mit B ein Berührpunkt und c =|PM| hat man
> >
> > die Höhe [mm]r =\sqrt{p\cdot(c-p)}[/mm] mit [mm]p=\frac{a^2}{c}[/mm]
>
> Du verwendest also sowohl den Kathetensatz wie den
> Höhensatz...
>
> meine Variable x [mm]\hat=[/mm] a
> mein Schnittkreisradius r" [mm]\hat=[/mm] r
> meiner Strecke | [mm]\overrightarrow{PM}[/mm] | [mm]\hat=[/mm] c
>
>
> Es gilt:
>
> [mm]x^2[/mm] = p* | [mm]\overrightarrow{PM}[/mm] |
>
> => p = [mm]\bruch{\wurzel{30}^2 }{6*\wurzel{5}}[/mm] = [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
>
> und
>
> r" = [mm]\wurzel{\wurzel{5}*(6*\wurzel{5}-\wurzel{5})}[/mm] = 5.
>
>
> ok.
>
>
>
> > und weiters den Mittelpunkt K des Schnittkreises
>
> >
> [mm]\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+\frac{p}{c}\cdot\overrightarrow{OM}[/mm]
>
> Müsste ich nicht von M aus in Richtung
> [mm]\overrightarrow{MP}[/mm] gehen?
>
>
> >
> [mm]\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+\frac{a^2}{c^2}\cdot\overrightarrow{OM}\to K(6/2/4)[/mm]
>
>
> Müsste ich nicht von P aus in Richtung [mm]\overrightarrow{PM}[/mm]
> gehen?
>
> ja natürlich, das ist ein offensichtlicher Flüchtigkeitsfehler, ich habe es oben korrigiert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mo 25.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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