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| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] \bruch{8}{9}x² [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] sowie für jedes c [mm] \not= [/mm] die Funktion [mm] g_{c} [/mm] mit [mm] g_{c}(x) [/mm] = cx² + c. Bestimmen Sie c so, dass sich die Graphen von f und [mm] g_{c} [/mm] berühren. Ermitteln Sie auch den Berührpunkt. |
Ein Hallo an alle Forenmitglieder,
diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
So rechne ich:
[mm] \bruch{8}{9}x² [/mm] -cx² + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] -c = 0
Weiter komme ich nicht!
Bitte um Hilfe.
matherein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
"berühren" heißt auch, dass im gemeinsamen Punkt der beiden Funktionen ebenfalls die Steigungen übereinstimmen.
Damit hast Du als 2. Bestimmungsgleichung:
$$f'(x) \ = \ [mm] g_c'(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Die Ableitungen von f und g gleichsetzen. Also ist das Gleichsetzen der Funktionen f und g falsch? Ableitungen gleichsetzen ergibt:
[mm] \bruch{16}{9}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = 2cx
Wie kriege ich jetzt aber das c da raus? Laut Lösungsbuch müssen auch 2 c`s rauskommen!
Bitte um Hife
matherein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
Deine Gleichung war auch in Ordnung. Es müssen beide Gleichungen gelten:
$$f(x) \ = \ [mm] g_c(x)$$
[/mm]
$$f'(x) \ = \ [mm] g_c'(x)$$
[/mm]
Damit hast Du nun ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen für 2 Unbekannte.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Also, dann muss ich bei [mm] \bruch{16}{9}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = 2cx das c ausrechnen und es dann in [mm] \bruch{8}{9}x² [/mm] -cx² + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] -c = 0 einsetzen?
Ich rechne dann doch: [mm] \bruch{\bruch{16}{9}x+\bruch{2}{3}}{2x} [/mm] = c
[mm] \bruch{8}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{11}{9}
[/mm]
Aber das kann auch irgendwie nicht richtig gerechnet sein, weil ich dann beim Einsetzen in oben angegebener Gleichung beim Anwenden der pq-Formel ein negatives Ergebnis rausbekomme!
Bitte um Hife
matherein
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Hallo!
Wie kommst du denn genau auf die Formel:
$ [mm] \bruch{8}{9} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{11}{9} [/mm] $ ?
Wenn du die Funktionen und ihre Ableitungen gleichsetzt erhälst du zwei Gleichungen mit zwei unbekannten: x und c
Jetzt kannst du die eine nach x auflösen und diese für x in die andere einsetzen.
mfg
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Hallo froopkind,
ich habe zwei Gleichungen. Einmal: [mm] \bruch{8}{9}x² [/mm] -cx² + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] -c = 0 für [mm] f(x)=g_{c}(x) [/mm] und die Gleichung
[mm] \bruch{16}{9}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = 2cx für [mm] f'(x)=g_{c}'(x). [/mm] Jetzt möchte ich das c ausrechnen aus [mm] \bruch{16}{9}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = 2cx und es dann in [mm] \bruch{8}{9}x² [/mm] -cx² + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] -c = 0 einsetzen.
Dazu rechne ich: [mm] \bruch{\bruch{16}{9}x+\bruch{2}{3}}{2x} [/mm] = c
Die 16 und die 2 werden durch 2 geteilt. Das x wird weggekürzt. Übrig bleibt:
[mm] \bruch{8}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{11}{9} [/mm]
Bei der Rechnung muss aber wie schon gesagt irgendetwas falsch sein!
Ich hoffe das Problem ist jetzt verständlicher. Danke für die Mühe.
matherein
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> Hallo froopkind,
>
> ich habe zwei Gleichungen. Einmal: [mm]\bruch{8}{9}x²[/mm] -cx² +
> [mm]\bruch{2}{3}x[/mm] -c = 0 für [mm]f(x)=g_{c}(x)[/mm] und die Gleichung
> [mm]\bruch{16}{9}x[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = 2cx für [mm]f'(x)=g_{c}'(x).[/mm]
> Jetzt möchte ich das c ausrechnen aus [mm]\bruch{16}{9}x[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = 2cx und es dann in [mm]\bruch{8}{9}x²[/mm] -cx² +
> [mm]\bruch{2}{3}x[/mm] -c = 0 einsetzen.
>
> Dazu rechne ich: [mm]\bruch{\bruch{16}{9}x+\bruch{2}{3}}{2x}[/mm] =
> c
> Die 16 und die 2 werden durch 2 geteilt. Das x wird
> weggekürzt. Übrig bleibt:
> [mm]\bruch{8}{9}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{11}{9}[/mm]
Das Stimmt nicht.Was übrig bleibt ist [mm] \bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x}=c
[/mm]
Damit sollte das jetzt eigentlich kein Problem mehr sein.
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| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] \bruch{8}{9}x² [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] sowie für jedes c [mm] \not= [/mm] die Funktion [mm] g_{c} [/mm] mit [mm] g_{c}(x) [/mm] = cx² + c. Bestimmen Sie c so, dass sich die Graphen von f und [mm] g_{c} [/mm] berühren. Ermitteln Sie auch den Berührpunkt. |
Hallo snp_Drake,
die Betonung liegt auf eigentlich.
Ich setze also [mm] \bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x}=c [/mm] in [mm]\bruch{8}{9}x²[/mm] -cx² + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] -c = 0 ein. Weiter: [mm] \bruch{8}{9}x² -(\bruch{8}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3x})x² [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}x -(\bruch{8}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3x}) [/mm] =0
[mm] \bruch{8}{9}x²-\bruch{8}{9}x²- \bruch{1}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}x -\bruch{8}{9} -\bruch{1}{3x} [/mm] =0
[mm] -\bruch{1}{3}x +\bruch{2}{3}x -\bruch{8}{9} -\bruch{1}{3x} [/mm] =0
[mm] +\bruch{1}{3}x -\bruch{1}{3x} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9}
[/mm]
Wie rechne ich jetzt das x raus, um es dann in die beiden Gleichungen einzusetzen und c raus zu kriegen?
Danke für die Mühe im Voraus.
matherein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 11.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Stelle doch erstmal die Gleichungen vernünftig auf. Damit hast du zwei Unbekannte, das c und die x-Koordinate des Berührpunktes [mm] x_{b}
[/mm]
Also:
[mm] f(x_{b})=g_{c}(x_{b})
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{8}{9}x_{b}²+\bruch{2}{3}x_{b}=cx_{b}²+c
[/mm]
Und
[mm] f'(x)=g_{c}'(x_{b})
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{9}x_{b}+\bruch{2}{3}=2cx_{b}
[/mm]
Also hast du folgendes GLS:
[mm] \vmat{\bruch{8}{9}x_{b}²+\bruch{2}{3}=cx_{b}²+c\\\bruch{16}{9}x_{b}+\bruch{2}{3}=2cx_{b}}
[/mm]
Aus der letzten Gleichung ergibt sich doch relativ schnell:
[mm] c=\bruch{\bruch{16}{9}x_{b}+\bruch{2}{3}}{2x_{b}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{16}{9}x_{b}}{2x_{b}}+\bruch{\bruch{2}
{3}}{2x_{b}}
[/mm]
[mm] =\bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x_{b}}
[/mm]
Das in die erste Gleichung eingesetzt ergibt:
[mm] \bruch{8}{9}x_{b}²+\bruch{2}{3}=\left(\bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x_{b}}\right)x_{b}²+\bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x_{b}}
[/mm]
Versuche daraus mal, dein [mm] x_{b} [/mm] zu bestimmen.
Alternativ geht natürlich auch, aus [mm] \bruch{16}{9}x_{b}+\bruch{2}{3}=2cx_{b} [/mm] erst [mm] x_{b}=\bruch{\bruch{2}{3}}{2c-\bruch{16}{9}} [/mm] zu ermitteln, dann ergibt sich:
[mm] \bruch{8}{9}*\left(\bruch{\bruch{2}{3}}{2c-\bruch{16}{9}}\right)^{2}+\bruch{2}{3}*\bruch{\bruch{2}{3}}{2c-\bruch{16}{9}}=c\left(\bruch{\bruch{2}{3}}{2c-\bruch{16}{9}}\right)^{2}+c
[/mm]
Aus dieser Gleichung kannst du dann c bestimmen.
Marius
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Es musste ja nur noch [mm] x_B [/mm] ausgerechnet werden.
Die letzte Gleichung nach Einsetzen von c ergab ja:
[mm] \bruch{1}{3}x-\bruch{1}{3x}=\bruch{8}{9}
[/mm]
ich habe die beiden linken Brüche auf den gemeinsamen Nenner 3x gebracht und erhielt:
[mm] \bruch{x^2-1}{3x}=\bruch{8}{9}
[/mm]
Jetzt habe ich mir das einfach gemacht und die beiden Zähler sowie die Nenner gleichgesetzt:
[mm] x^2-1=8 [/mm] das ergab für [mm] x=\pm3
[/mm]
und 3x=9 das ergab für x=3
ich nahm die gemeinsame Lösung x=3
Anmerken möchte ich noch, dass ich die Gleichung [mm] \bruch{x^2-1}{3x}=\bruch{8}{9} [/mm] nebenbei durch Derive ausrechnen ließ.
Dabei kam als 2.Lösung [mm] x=-\bruch{1}{3} [/mm] heraus !!! Werde auch den anderen Rechenweg (zuerst [mm] x_B [/mm] bestimmen) mal beschreiten, um zu sehen, ob es auch für c 2 Lösungen gibt...
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 So 11.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es musste ja nur noch [mm]x_B[/mm] ausgerechnet werden.
>
> Die letzte Gleichung nach Einsetzen von c ergab ja:
>
> [mm]\bruch{1}{3}x-\bruch{1}{3x}=\bruch{8}{9}[/mm]
>
> ich habe die beiden linken Brüche auf den gemeinsamen
> Nenner 3x gebracht und erhielt:
>
> [mm]\bruch{x^2-1}{3x}=\bruch{8}{9}[/mm]
>
> Jetzt habe ich mir das einfach gemacht und die beiden
> Zähler sowie die Nenner gleichgesetzt:
Das funktioniert nur bei Nullstellensuche, dann reicht es, wenn der Zähler Null wird.
>
> [mm]x^2-1=8[/mm] das ergab für [mm]x=\pm3[/mm]
>
> und 3x=9 das ergab für x=3
>
> ich nahm die gemeinsame Lösung x=3
>
> Anmerken möchte ich noch, dass ich die Gleichung
> [mm]\bruch{x^2-1}{3x}=\bruch{8}{9}[/mm] nebenbei durch Derive
> ausrechnen ließ.
Auch das ist eine Lösung.
[mm] \bruch{x^2-1}{3x}=\bruch{8}{9}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (x²+1)*9=8*3x
[mm] \gdw x²-\bruch{8}{3}x+1=0
[/mm]
Und jetzt p-q-Formel.
>
> Dabei kam als 2.Lösung [mm]x=-\bruch{1}{3}[/mm] heraus !!! Werde
> auch den anderen Rechenweg (zuerst [mm]x_B[/mm] bestimmen) mal
> beschreiten, um zu sehen, ob es auch für c 2 Lösungen
> gibt...
>
> Schorsch
Tipp: Wenn du in meiner Lösung zuerst ein wenig kürzt, wird der Term relativ einfach. Und du solltest dir die Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen unbedingt verinnerlichen.
Marius
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Mit dem alternativen Rechenweg, zuerst [mm] x_B [/mm] bestimmen und dann einsetzen, kam ich erst überhaupt nicht klar ! Sah nur noch Brüche...
Schorsch
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Danke M.Rex !
also über Kreuz malnehmen und anschließend pq. Dann kommt ja auch der 2.x-Wert raus.
Hattest einen kleinen Tippfehler: es muss [mm] x^2-\bruch{8}{3}x-1=0 [/mm] heißen.
Schorsch
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| Aufgabe | Gegeben waren ja [mm] f(x)=\bruch{8}{9}x^2+\bruch{2}{3}x [/mm] und [mm] g_c(x)=cx^2+c [/mm] Nach Gleichsetzen der Funktionen und deren 1.Ableitungen hatte man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten zu lösen.
Gesucht wurden die Werte des Berührpunktes der Graphen [mm] x_B.
[/mm]
Dazu konnte man jeweils c oder [mm] x_B [/mm] aus einer Gleichung in die andere Gleichung einsetzen.
Nach Einsetzen von [mm] c=\bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x} [/mm] in die Gleichung [mm] f(x)=g_c(x) [/mm] bekam man für [mm] x_B [/mm] die Werte 3 und [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] heraus.
Nach Einsetzen der [mm] x_B-Werte [/mm] in die Gleichung erhielt man für c die Werte 1 und [mm] -\bruch{1}{9}.
[/mm]
Man konnte aber auch zuerst [mm] x_B [/mm] (aus der Ableitungsgleichung)herausnehmen und in die Funktionsgleichungen einsetzen. Das war wesentlich aufwendiger als der erste Weg ! |
Ich musste oftmals nachrechnen und bekam es schließlich heraus:
[mm] x_B=\bruch{3}{9c-8} [/mm] setzte ich in die Gleichung
[mm] \bruch{8}{9}x_B^2+\bruch{2}{3}x_B=cx_B^2+c [/mm] ein.
Mithilfe der Polynomdivision (ich kannte ja bereits die c-Werte) bekam ich heraus:
[mm] \bruch{-2187(c-1)(c+\bruch{1}{9})(c-\bruch{8}{9})}{27(9c-8)^2}=0
[/mm]
Der c-Wert [mm] \bruch{8}{9} [/mm] ist nicht definiert (Zähler und Nenner wären gleich Null).
Ach ja, der Graph [mm] f(x)=\bruch{8}{9}x^2+\bruch{2}{3}x [/mm] hat mit den beiden Graphen von [mm] g_1(x)=x^2+1 [/mm] und [mm] g_2(x)=-\bruch{1}{9}(x^2+1) [/mm] die Berührpunkte [mm] P_{B1} [/mm] [3 ; 10] und [mm] P_{B2} [-\bruch{1}{3} [/mm] ; [mm] -\bruch{10}{81}].
[/mm]
Jetzt brauch ich erstmal ´ne Pause. Ich hoffe, ich habe es richtig gemacht und konnte auch anderen mal was erklären ! Hier im Matheraum gibt es immer viele, die oft sehr schnell auf die Fragen Antworten suchen und Hilfen geben.
Schorsch
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hmm... der Lösungsweg ist schon in Ordnung so.
Nachdem die Abbildungsvorschriften und die erste Ableitung der beiden Funktion gleichgesetzt wurden, hat man ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten.
Ich verstehe nicht so recht, warum um jeden Preis das Einsetzverfahren zur Lösung herangezogen wurde:
Zum Lösen von Gleichungssystemen fallen mir 4 effektive Lösungsalgorithmen ein:
1.) Addition und damit Eliminierung von Unbekannten
2.) Gleichsetzen (hier z.B. beide Gleichungen nach der gleichen Variablen umstellen und dann Gleichsetzten nach dem Motto "Sind 2 Gleichungen einer Dritten gleich, so sind sie auch einander gleich")
3.) Einsetzverfahren, so wie hier z.B.
4.) Gauß-Algorithmus (ja gut, hier nicht ganz so leicht)
Wenn man vorher schaut, welcher Weg am einfachsten erscheint, spart man sich sehr viel Arbeit, und senkt das Potential an Schusselfehlern!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Mo 12.01.2009 | | Autor: | matherein |
Guten Abend:)
vielen Dank an M.Rex und besonders an Schorch, dass du diese Aufgabe so intensiv bearbeitest hast. Damit hast du mir eine Menge Vorarbeit erspart.
Gruß
matherein
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