Berührpunkt Häufungspunkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils alle Berührpunkte und Häufungspunkte der angegebenen Teilmengen von [mm] \IR.
[/mm]
(a) [mm] A:={\frac{1}{n} : n\in\IN}
[/mm]
(b) [mm] B:=([1,\wurzel{2}[\cup]\wurzel{2},2[)\cap\IQ
[/mm]
(c) C:= eine beliebige Teilmenge von [mm] \IR [/mm] |
(a) 0 ist Berührpunkt und Häufungspunkt
(b) Ich habe die Vermutung, dass jede reelle Zahl Berührpunkt ist, weil [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] dicht liegt. bin mir aber nicht sicher
und bei (c) komme ich überhaupt nicht weiter
Bitte helft mir.glg steffi
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Hallo,
> Bestimmen Sie jeweils alle Berührpunkte und
> Häufungspunkte der angegebenen Teilmengen von [mm]\IR.[/mm]
> (a) [mm]A:={\frac{1}{n} : n\in\IN}[/mm]
> (b)
> [mm]B:=([1,\wurzel{2}[\cup]\wurzel{2},2[)\cap\IQ[/mm]
> (c) C:= eine beliebige Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> (a) 0 ist Berührpunkt und Häufungspunkt
Genau.
> (b) Ich habe die Vermutung, dass jede reelle Zahl
> Berührpunkt ist, weil [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IR[/mm] dicht liegt. bin mir aber
> nicht sicher
Das Argument ist schonmal gut. Aber nicht "jede reelle Zahl" ist Berührpunkt, sondern nur die, welche im Intervall [1,2] liegen. Was ist mit den rationalen Zahlen in [1,2]? Sind das alles Häufungspunkte?
> und bei (c) komme ich überhaupt nicht weiter
C ist durchaus etwas sehr allgemein gestellt, d.h. du kannst auch nur sehr allgemein antworten. Habt ihr schon den Abschluss und den Rand einer Teilmenge von [mm] \IR [/mm] definiert?
Grüße,
Stefan
PS.: Bedenke, dass jeder Berührpunkt automatisch Häufungspunkt ist, wenn du die Menge der Häufungspunkte aufschreibst!
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zu (b) Ich überlege die ganze Zeit hin und her und komme nicht drauf
zu (c) Nein haben wir noch nicht
PS: Ist es nicht umgekehrt?? lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:45 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> zu (b) Ich überlege die ganze Zeit hin und her und komme
> nicht drauf
Hattet Ihr folgendes:
Ist M eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] so ist a [mm] \in \IR [/mm] genau dann ein berührpunkt von M, wenn es in M eine Folge gibt, welche gegen a konvergiert. ?
Wenn ja, so müßtest Du damit bei (b) sehr schnell sehen, dass die Menge der Berührpunkte= [1,2] ist
FRED
>
> zu (c) Nein haben wir noch nicht
>
> PS: Ist es nicht umgekehrt?? lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Di 08.06.2010 | | Autor: | steffi.24 |
Nein. Das haben wir nicht gemacht. Wir haben den Berührpunkt folgendermaßen definiert:
[mm] A\subseteq \IR, [/mm] a heißt BP, falls [mm] \forall \varepsilon>0:U_{\varepsilon}(a)\not=0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Di 08.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Bestimmen Sie jeweils alle Berührpunkte und
> Häufungspunkte der angegebenen Teilmengen von [mm]\IR.[/mm]
> (a) [mm]A:={\frac{1}{n} : n\in\IN}[/mm]
> (b)
> [mm]B:=([1,\wurzel{2}[\cup]\wurzel{2},2[)\cap\IQ[/mm]
> (c) C:= eine beliebige Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> (a) 0 ist Berührpunkt und Häufungspunkt
> (b) Ich habe die Vermutung, dass jede reelle Zahl
> Berührpunkt ist, weil [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IR[/mm] dicht liegt. bin mir aber
> nicht sicher
> und bei (c) komme ich überhaupt nicht weiter
> Bitte helft mir.glg steffi
Wie ist bei Euch Berührpunkt definiert? Laut WIKI unterscheiden sich Häufungspunkt und Berührpunkt, dadurch dass sich in beliebiger Nähe zum Häufungspunkt von ihm verschiedene Punkte der Menge häufen. Beim Berührpunkt kann es auch der Punkt selber sein.
Damit sind alle Elemente der Mengen automatisch Berührpunkte. Es kommen dann noch die Häufungspunkte hinzu.
Damit wäre z.B. bei a) [mm] \{1/n:n\in\IN\}\cup\{0\} [/mm] die Menge der Berührpunkte, oder?
Du sollst ja ALLE angeben.
LG
gfm
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