Berührpunkt Parabel Tangente < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Eine zur x-Achse symmetrische Parabel habe den Brennpunkt F=(4,0) und die Tangente T: y=x+2
a) Wie können Sie den Berührpunkt konstruieren? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel und die Koordinaten des Berührpunktes. |
Guten Morgen,
ich weiss bei dieser Aufgabe nicht ob mein Ansatz funktioniert.
Also gewünscht wird, dass wir das über die Spiegeleigenschaft lösen.
Bis jetzt haben wir dies aber nur bei Ellipsen gezeigt.
Hierbei sind wir so vorgegangen:
1) Brennpunkt an der Tangente gespiegelt
2)Den Punkt den wir erhalten mit dem anderen Brennpunkt verbunden
3)Der Schnittpunkt mit der Tangente ist der Berührpunkt
d.h. wir haben die orthogonale zur Tangente ausgerechnet und den Schnittpunkt erhalten. Somit kann man den gespiegelten Punkt erhalten ( vom SP aus den gleichen Abstand in x und y richtung) und dann durch den Abstand zwischen dem F'_1 (Punkt den wir durch spiegeln erhalten) und [mm] F_2 [/mm] kann man sehr schnell die Berührpunkte ausrechnen.
So jetzt aber zurück zur Parabel:
Spiegeleigenschaft: spiegeln wir den Brennpunkt an der Parabel, so ist der reflektierende Strahl eine parallele zur symmetrieachse.
Ich würde also folgendermassen vorgehen:
1) Brennpunkt an der Tangente Spiegeln
2) Orthogonale zur Tangente aufstellen
3) SP von der Tangente mit der orthogonalen berechnen
4) und F' (Spiegelpunkt) ermitteln
ab hier wüsste ich dann nicht weiter, da wir hier ja keinen zweiten Brennpunkt haben, mit der wir F' verbinden können, sondern eine Leitgerade, aber da wüsste ich jetzt nicht, an welcher Stelle man das verbinden soll. Meine Vermutung ist, das F' auf der Leitgerade liegt bzw. die Leitgerade durch F' geht. Aus diesem Grund bin ich mir nicht sicher, ob ich das so in der Art wie bei der Ellipse konstruieren kann.
Edit: Bei der Ellipse hat das Funktioniert, weil jeder Ellipsenpunkt P den Winkel [mm] F_1PF_2 [/mm] halbiert.
Die Tangente der Parabel halbiert den Winkel zwischen Leitstrahl und Brennstrahl. Also müsste es hier auch Funktionieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mi 13.08.2014 | | Autor: | hippias |
> Eine zur x-Achse symmetrische Parabel habe den Brennpunkt
> F=(4,0) und die Tangente T: y=x+2
>
> a) Wie können Sie den Berührpunkt konstruieren?
> Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> b) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel und die
> Koordinaten des Berührpunktes.
> Guten Morgen,
>
> ich weiss bei dieser Aufgabe nicht ob mein Ansatz
> funktioniert.
>
> Also gewünscht wird, dass wir das über die
> Spiegeleigenschaft lösen.
> Bis jetzt haben wir dies aber nur bei Ellipsen gezeigt.
>
> Hierbei sind wir so vorgegangen:
>
> 1) Brennpunkt an der Tangente gespiegelt
> 2)Den Punkt den wir erhalten mit dem anderen Brennpunkt
> verbunden
> 3)Der Schnittpunkt mit der Tangente ist der Berührpunkt
>
> d.h. wir haben die orthogonale zur Tangente ausgerechnet
> und den Schnittpunkt erhalten. Somit kann man den
> gespiegelten Punkt erhalten ( vom SP aus den gleichen
> Abstand in x und y richtung) und dann durch den Abstand
> zwischen dem F'_1 (Punkt den wir durch spiegeln erhalten)
> und [mm]F_2[/mm] kann man sehr schnell die Berührpunkte
> ausrechnen.
>
Ich kenne mich mit diesem Thema nicht sonderlich gut aus, daher nur eine Mitteilung. Bedeutet eure Konstruktion nicht, dass die Verbindung zwischen Brennpunkt und Beruehrpunkt orthogonal auf der Tangenten ist? Ich kann mir nicht vorstellen, dass das fuer Parabeln so allgemein gilt. Ist es nicht vielmehr so, dass der Strahl vom Brennpunkt zum Beruehrpunkt hier parallel zur $x$-Achse reflektiert wird?
Aber vielleicht stelle ich mir das alles auch nur falsch vor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Hallo Hippias,
danke für deine Mitteilung.
> Ist es nicht vielmehr so, dass der Strahl vom Brennpunkt
> zum Beruehrpunkt hier parallel zur [mm]x[/mm]-Achse reflektiert
> wird?
> Aber vielleicht stelle ich mir das alles auch nur falsch
> vor.
Nein, da hast du schon recht. Das meinte ich auch mit:
Spiegeleigenschaft: spiegeln wir den Brennpunkt an der Parabel, so ist der reflektierende Strahl eine parallele zur symmetrieachse.
Ich weiss jetzt leider nur nicht, wie die Konstruktion bzw. Berechnung in diesem Fall funktioniert.
Ich hatte auch vermutet, dass das anders funktioniert als bei der Ellipse, wollte es versuchen und kam damit nicht weiter. Wollte dennoch unser Verfahren hinschreiben, damit man sehen kann, was ich mit Beweis durch Spiegeleigenschaft meine.
LG Laura
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Hallo,
ich verzichte mal aufs Zitieren, sonst wird alles viel zu unübersichtlich. Offensichtlich hast du da einen ziemlichen Denkfehler eingebaut, da du von mehreren Brennpunkten sprichst. Eine Parabel hat jedoch nur einen Brennpunkt.
Es geht so: Brenn- und Leitstrahl spannen jeweils vom Berührpunkt aus eine Raute auf. Damit bekommst du den fraglichen Berührpunkt mit dem Zeichnen einer Geraden (der Symmetrieachse) sowie einem einzigen Zirkelschlag um den Brennpunkt F...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Danke für deine Rückmeldung. Das mit einem Brennpunkt war mir bewusst. Von Brennpunkten habe ich, falls ich jetzt nichts übersehen habe, bei dem Bsp. von der Ellipse gesprochen. Ich wollte dies nur aufschreiben, um unser bisheriges Verfahren zu zeigen. Wahrscheinlich habe ich mich zu undeutlich ausgedrückt tut mir leid für die Verwirrung.
Ich habe jetzt einfach mal unter der letzten Antwort weiter gemacht.
LG Laura
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Hier mit Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Gerade [mm]t[/mm] berühre die Parabel [mm]p[/mm] im Punkt [mm]P[/mm]. Der Scheitel [mm]S[/mm] der Parabel liegt auf deren Symmetrieachse [mm]s[/mm] in der Mitte zwischen dem Brennpunkt [mm]F[/mm] und der Leitgeraden [mm]l[/mm]. Als Parabelpunkt hat [mm]P[/mm] von [mm]F[/mm] und [mm]l[/mm] denselben Abstand. Das Dreieck [mm]LFP[/mm] ist damit gleichschenklig. Bekanntermaßen ist [mm]t[/mm] seine Symmetrieachse.
Bekannt sind dir [mm]F,s,t[/mm]. Jetzt konstruiere zunächst [mm]L[/mm], dann [mm]P[/mm].
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
vielen dank für die Mühen!
Ich habe jetzt L bestimmt in dem ich die Orthogonale zu Tangente aufgestellt habe:
Orthogonale: y'=-x+z (da die Tangente, die Steigung 1 hat und die orthoganle dann -1 sein muss, damit [mm] m_1*m_2=-1)
[/mm]
Da die Orthogonale durch den Brennpunkt verlaeuft:
0=-4+z
z=4
d.h. die orthogonale Gleichung lautet: y'=-x+4
Nun den SP mit der Tangenten berechnen
x+2=-x+4
es folgt x=1 und y= 3
Um L zu bestimmen gehen wir nun vom Brennpunkt aus -3 Schritte auf der x Achse, +3 Schritte auf der y Achse und landen auf dem SP (1/3). Von diesem aus gehen wir wieder die selben Schritte auf beiden Achsen und erhalten die Koordinaten von L=(-2/6)
Ist das richtig? Wie ich P bestimme weiss ich leider noch nicht.
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[mm]P[/mm] liegt auf der Tangenten und hat dieselbe [mm]y[/mm]-Koordinate wie [mm]L[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
> [mm]P[/mm] liegt auf der Tangenten und hat dieselbe [mm]y[/mm]-Koordinate wie
> [mm]L[/mm].
d.h [mm] P(x_0/6)
[/mm]
in T: [mm] 6=x_0+2 [/mm] es folgt [mm] x_0=4
[/mm]
Nun kann ich den Abstand zwischen L (-2/6) und P(4/6) berechnen
[mm] \overline{PL}=\wurzel{(4+2)^2+(6-6)^2}=6=\overline{PF} [/mm] nach Definition
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Richtig, aber sehr formal gedacht. Da die y-Werte gleich sind, hätte es genügt, die Differenz der x-Werte zu bestimmen.
Übrigens: Der Brennpunkt und der Berührpunkt haben zufällig denselben x-Wert. Also kann man den Abstand beider durch die Differenz der y-Werte bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
> Richtig, aber sehr formal gedacht. Da die y-Werte gleich
> sind, hätte es genügt, die Differenz der x-Werte zu
> bestimmen.
>
oh ja, dass würde schneller gehen, aber darauf bin ich nicht gekommen.
jetzt fehlt mir aber noch die Gleichung der Parabel:
allgemein gilt:
[mm] y^2=2px
[/mm]
Um p zu bestimmen berechne ich die Differenz zwischen der Leitgerade im Punkt(-2/0) und dem Brennpunkt (4/0). Die Differenz der x Werte ist 6. D.h. p=6 und für den Scheitel gilt a=p/2=3.
Die Gleichung lautet also [mm] y^2=2*6x=12x
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Laura,
> > Richtig, aber sehr formal gedacht. Da die y-Werte gleich
> > sind, hätte es genügt, die Differenz der x-Werte zu
> > bestimmen.
> >
> oh ja, dass würde schneller gehen, aber darauf bin ich
> nicht gekommen.
>
> jetzt fehlt mir aber noch die Gleichung der Parabel:
>
> allgemein gilt:
>
> [mm]y^2=2px[/mm]
>
> Um p zu bestimmen berechne ich die Differenz zwischen der
> Leitgerade im Punkt(-2/0) und dem Brennpunkt (4/0). Die
> Differenz der x Werte ist 6. D.h. p=6 und für den Scheitel
> gilt a=p/2=3.
>
> Die Gleichung lautet also [mm]y^2=2*6x=12x[/mm]
ich hab's nicht nachgerechnet, kann Dir aber sagen, dass da irgendwo
noch ein Fehler drin sein muss. Denn:
Wenn man sich die Graphen von
[mm] $y=f_1(x):=\sqrt{12x}$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$
und
[mm] $y=f_2(x):=-\sqrt{12x}$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$
plotten läßt, und sich dann zudem
[mm] $y=x+2\,$
[/mm]
anschaut: Das sieht alles andere als tangential aus.
Nebenbei: Um das Ergebnis gegenzutesten, würde ich mir einfach mal
alles an der 45°-Geraden spiegeln (was bedeutet das für die Koordinaten
eines Punktes?).
Dann kann man sogar bei Wiki:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_%28Mathematik%29#Parabel_als_Funktions-Graph
nachlesen, was rechnerisch rauskommen sollte.
P.S. Beachte allerdings, dass der Scheitelpunkt dort der Ursprung ist. Es
bedarf, wenn man die Formeln von Wiki nimmt, zuvor also evtl. noch einer
kleinen Koordinatentransformation.
Gruß,
Marcel
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Der Scheitel der Parabel liegt in der Mitte zwischen der Leitgeraden und dem Brennpunkt. Für die Leitgerade ist [mm]x=-2[/mm] (siehe [mm]x[/mm]-Koordinate von [mm]L[/mm]), für den Brennpunkt ist [mm]x=4[/mm]. Daher liegt der Scheitel bei [mm]x=1[/mm]. Du mußt die Parabel daher noch verschieben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
> Der Scheitel der Parabel liegt in der Mitte zwischen der
> Leitgeraden und dem Brennpunkt. Für die Leitgerade ist
> [mm]x=-2[/mm] (siehe [mm]x[/mm]-Koordinate von [mm]L[/mm]), für den Brennpunkt ist
> [mm]x=4[/mm]. Daher liegt der Scheitel bei [mm]x=1[/mm].
genau...mit a meinte ich nicht die Koordinate, sondern den Abstand zwischen scheitel und leitgerade. Hab mich zu undeutlich ausgedrückt.
> Du mußt die Parabel
> daher noch verschieben.
Wenn ich es richtig verstanden habe, kann ich [mm] y^2=2px [/mm] nur anwenden, wenn der Scheitel im Ursprung liegt!?
D.h. ich muss die Parabel um eins nach links verschieben:
[mm] y^2=2*6(x+1)=12x+12
[/mm]
Wenn das richtig ist, habe ich noch eine Frage: wenn die Parabel nicht symmetrisch zur x-Achse waere, sondern zu y-Achse. Dann kann ich dennoch das selbe Verfahren anwenden oder? Ich habe mir mal eine aufgezeichnet. Der unterschied ist nur, dass die Leitgerade dann eben parallel zur x-Achse ist, aber von der Rechnung her aendert sich nichts.
Ich hoffe, ich irre mich jetzt nicht total
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Jetzt liegt der Scheitel bei [mm]x=-1[/mm]. Er soll aber bei [mm]x=1[/mm] liegen.
Und was die andere Frage angeht: Vertausche die Rollen von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
>
> Und was die andere Frage angeht: Vertausche die Rollen von
> [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm].
D.h. die Leitgerade und der Berührpunkt haben dann nicht den y Punkt gemeinsam, sondern den x punkt. D.h ich berechne die Differenz der y Werte um den Berührpunkt zu bestimmen.
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Prinzipiell gilt: Wird eine Kurve durch eine Gleichung in [mm]x,y[/mm] beschrieben, so bewirkt eine Vertauschung von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.
Die Graphik zeigt die Kurven
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm]x^2 + y^3 = 4[/mm] (blau) und [mm]y^2 + x^3 = 4[/mm] (rot)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Ach so war das gemeint  wenn es y achsensymetrisch ist, kann ich x und y vertauschen und die parabel ist symmetrisch zur x Achse und ich kann wieder so vorgehen wie in diesem Beispiel.
Vielen, vielen dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Der Scheitel der Parabel liegt in der Mitte zwischen der
> > Leitgeraden und dem Brennpunkt. Für die Leitgerade ist
> > [mm]x=-2[/mm] (siehe [mm]x[/mm]-Koordinate von [mm]L[/mm]), für den Brennpunkt ist
> > [mm]x=4[/mm]. Daher liegt der Scheitel bei [mm]x=1[/mm].
>
> genau...mit a meinte ich nicht die Koordinate, sondern den
> Abstand zwischen scheitel und leitgerade. Hab mich zu
> undeutlich ausgedrückt.
>
>
> > Du mußt die Parabel
> > daher noch verschieben.
>
> Wenn ich es richtig verstanden habe, kann ich [mm]y^2=2px[/mm] nur
> anwenden, wenn der Scheitel im Ursprung liegt!?
>
> D.h. ich muss die Parabel um eins nach links verschieben:
>
> [mm]y^2=2*6(x+1)=12x+12[/mm]
das wäre, bzgl. dem, was Du gesagt hast, was Du machen willst, korrekt.
So wäre die Parabel um 1 nach links verschoben.
Wie Leopold_Gast aber schon sagte: Du willst sie doch um 1 nach rechts
verschieben.
Und bzgl. der Frage "Wie hätte ich das Problem mit einer
Funktionsgleichung für eine Parabel behandeln können?",
was ich ja in meiner Antwort quasi angedeutet habe, hat
Leopold_Gast Dir ja auch gesagt, was Du tun musst. Das
bezieht sich dann natürlich auch auf den vorgegebenen
Brennpunkt, die Tangente...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
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> das wäre, bzgl. dem, was Du gesagt hast, was Du machen
> willst, korrekt.
> So wäre die Parabel um 1 nach links verschoben.
>
> Wie Leopold_Gast aber schon sagte: Du willst sie doch um 1
> nach rechts
> verschieben.
>
Jetzt stehe ich total auf der Leiter...ist mir total peinlich aber:
der Scheitel liegt im Moment auf 1. Damit ich die Parabelgleichung in der Form [mm] y^2=2xp [/mm] aufstellen kann, muss der Scheitel auf dem Ursprung liegen.
Um von 1 auf 0 zu kommen muss ich doch nach links gehen. Wenn ich die Parabel nach rechts verschiebe, liegt der Scheitel auf 2.
Oder ich habe irgendwie was total falsch verstanden :-S
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Du denkst falsch herum. Der Abstand vom Brennpunkt zur Leitgeraden beträgt [mm]p=6[/mm]. Soweit ist das richtig. Bei der Gleichung
[mm]y^2 = 2p \cdot x[/mm]
hat die Parabel den Scheitel [mm]S=(0,0)[/mm], die Leitgerade [mm]x=-\frac{p}{2}[/mm] und den Brennpunkt [mm]F = \left( \frac{p}{2} , 0 \right)[/mm].
Du brauchst aber [mm]l: \, x=-2, \ \ S=(1,0), \ \ F=(4,0)[/mm].
Und an der [mm]x[/mm]-Koordinate des Scheitels siehst du, wie du verschieben mußt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
ohhh natürlich ich bin so blöd xD
wenn ich etwas an der gleichung [mm] y^2=2px [/mm] aendere, dann verschiebe ich auch diese und nicht die Parabel, die gesucht ist.
Aus diesem Grund auch nach rechts d.h.
Meine Parabel hat die Gleichung:
[mm] y^2=12(x-1)
[/mm]
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Na ja, du verschiebst nicht die Gleichung, sondern die Kurve, die zur Gleichung gehört. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Vielen lieben dank! Es war nicht einfach mit mir
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Das sollte eine Mitteilung werden
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