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Berührpunkt von Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Mo 15.05.2006
Autor: philo

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)= \ \bruch{8}{9} x^2 + \ \bruch{2}{3} x[/mm] sowie für jedes [mm] c\pm0 [/mm] die Funktion [mm]g_c[/mm] mit [mm]g_c(x)= cx^2 +c[/mm]. Bestimmen Sie c so, dass sich die Graphen von f und [mm]g_c[/mm] berühren. Ermitteln Sie auch den Berührpunkt.

Ich sitze nun schon eine Weile an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Auch ein Blick auf die Lösung dieser Aufgabe brachte mich nicht weiter (c=1 mit dem Berührpunkt B (3|10); c=[mm]\ -\bruch{1}{9}[/mm] mit dem Berührpunkt B  mit dem Berührpunkt B ([mm]\ -\bruch{1}{3}[/mm]|[mm]\ -\bruch{10}{81}[/mm])).
Durch eine Zufallsrechnung bin ich auf den Berührpunkt gekommen, wobei ich nicht glaube, dass dies der richtige Weg war und mit dieser "Rechnung" der Wert bzw die Werte für c dann immer noch fehlen.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.

Freundliche Grüße
Philo


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Berührpunkt von Graphen: Funktionswert + Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mo 15.05.2006
Autor: Loddar

Hallo philo,

[willkommenmr] !!


Wenn sich zwei Funktionsgraphen berühren sollen, müssen an den Berührstellen [mm] $x_b$ [/mm] sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungswerte (sprich: die Ableitungen) übereinstimmen.

Also:  [mm] $f(x_b) [/mm] \ = \ [mm] g_c(x_b)$ [/mm]   und   [mm] $f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] g_c'(x_b)$ [/mm]


Aus der Gleichung der Ableitung kannst Du nun z.B. nach $c \ = \ ...$ umstellen und in die andere Gleichung einsetzen.


Kommst Du damit nun weiter?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Berührpunkt von Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Mo 15.05.2006
Autor: philo

Hi und Danke für den Tip.

Ich habe nun aus der Gleichung der Ableitungen nach c aufgelöst:

[mm] \bruch{16}{9}[/mm] x + [mm] \bruch{2}{3}[/mm] = 2cx

[mm] \bruch{8}{9}[/mm] + [mm] \bruch{1}{3x}[/mm] = c

Diesen Wert habe ich in die Anfangsgleichung eingesetzt und zum Schluss nur noch [mm] \bruch{8}{9}[/mm] stehen. Ich glaube, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe.

Bezug
                        
Bezug
Berührpunkt von Graphen: verrechnet?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mo 15.05.2006
Autor: Loddar

Hallo philo!


> [mm]\bruch{16}{9}[/mm] x + [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = 2cx

> [mm]\bruch{8}{9}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3x}[/mm] = c

[daumenhoch]

  

> Diesen Wert habe ich in die Anfangsgleichung eingesetzt und
> zum Schluss nur noch [mm]\bruch{8}{9}[/mm] stehen. Ich glaube, dass
> ich irgendetwas falsch gemacht habe.

Da musst du wirklich etwas falsch gemacht haben! Ich erhalte unmittlebr nach dem Einsetzen:

[mm] $\bruch{8}{9}x^2+\bruch{2}{3}x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{9}x^2+\bruch{1}{3}x+\bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x}$ [/mm]


Das ergibt dann schnell:    [mm] $\bruch{1}{3}x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{9}+\bruch{1}{3x}$ [/mm]

Wie hast Du denn dann weiter gerechnet?
Multipliziere diese Gleichung nun mit $3x_$ ...


Gruß
Loddar


Bezug
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