Berührpunkte und die Geraden < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Ellipse liege im Innern eines Dreiecks abc ber¨uhre seine drei Seiten. Die Ber¨uhrpunkte
werden a' [mm] \in [/mm] bc, b' [mm] \in [/mm] ca und c' [mm] \in [/mm] ab genannt.
Zeigen Sie: Die Geraden aa', bb' und cc' gehen durch einen Punkt.
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So, ich habe das jetzt so angefangen, dass ich das ganze erst durch eine affine Transformation in einen Kreisfall überführt habe, da damit ja die Eigenschaften erhalten bleiben. Danach kann ich den Satz von Cerva anwenden und muß nur zeigen, dass die drei Teilverhältnisse zusammen =-1 ergeben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier die Zeichnung dazu, so wie ich mir das vorstelle.
Was mir gerade allerdings Probleme bereitet, ist die Gleichungen aufzustellen aus denen ich dann TV(a';b,c), TV(b';c,a ) und TV(c'; a,b) berechnen kann. Ich weiß was ungefähr rauskommen muß, aber ich komme einfach nicht dahin.
für [mm] TV(a';b,c)=\frac{-y}{z}
[/mm]
hatte ich mir überlegt die Strecke bc in x und y zu unterteilen. Gesamtstrecke ist z und somit versucht dann a' aufzustellen.
Meine Überlegung hierzu: a'= [mm] \frac{z}{x}+ \frac{x}{y}c [/mm] damit wäre das dann aber - [mm] \frac{x}{y} [/mm] * [mm] \frac{x}{z} \gdw \frac{x^2}{yz} [/mm] womit ich ja wo ganz anders lande. Denke ich falsch bzw wo liegt mein Fehler beim Aufstellen der Gleichung(en)?
Vielen Dank schonmal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Do 27.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Zeichnung folgt das schon aus Symmetriegründen, du mußt also eine allgemeinere machen und sagen, wie du von da zum Kreis kommst, dann allerdings brauchst du nir noch den beweis für den Gorgonne Punkt. und musst keine Geraden mehr schneiden.
Gruß leduart
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