Berührung Sattelpunkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Mo 27.12.2021 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Frage:
Wenn das Schaubild einer Funktion f die x-Achse an der Stelle x = 1 berührt, gilt ja f(1) = 0 und f'(1) = 0.
Wie wäre es, wenn bei x = 1 nun ein Sattelpunkt vorliegt ?
Spricht man dann auch von einer Berührung (in der Art, dass das Schaubild von f die x-Achse berührt UND schneidet) ?
Falls bei einem Sattelpunkt keine Berührung vorläge, könnte man dann aufgrund der Vorgabe, dass das Schaubild bei x = 1 die x-Achse berührt eine Sattelpunktexistenz dort ausschließen ?
Vielen Dank für Eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Mo 27.12.2021 | | Autor: | chrisno |
Da bin ich auf die weiteren Antworten gespannnt.
Für mich ist klar, dass es einen Unterschied zwischen Berühren und Schneiden gibt.
Das ist aber kein Beweis.
Zuerst ein Versuch ener Defnition:
Berühren: f(x) und g(x) haben einen Punkt x0 gemeinsam und es gibt eine Epsilonumgebung um x0, in der gilt f(x) > g(x) natürlich ohne f(x0).
Schneiden: f(x) und g(x) haben einen Punkt x0 gemeinsam und es gibt eine Epsilonumgebung um x0, in der gilt f(x) > g(x) für x < x0 und f(x) < g(x) für x > x0.
(Das kann natürlich besser formuliert werden, das überlasse ich den echten Mathematikern. Die weiteren Fälle sind selbst zu ergänzen.)
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Korrekt ist, dass bei einem Sattelpunkt die Tangente geschnitten wird, da ein Teil des Graphen auf der einen und der andere auf der anderen Tangentenseite liegt.
Man muss dabei aber vorsichtig sein: Ein Lehrer kann das anders definieren, z.B. als Sonderfall des Berührens. Bei manchen Lehrern gehört die 0 mit zu den natürlichen Zahlen, bei anderen nicht, bei manchen darf ein Kreis auch den Radius 0 haben (=Punkt). Ich habe meinen Schülern z.B. erlaubt, bei Gleichungen mit lim das lim wegzulassen, um alles eine Klammer zu setzen und davor einmal den lim zu schreiben, um unnötige Schreibarbeit zu vermeiden.
Statt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^2+n}{2n^2+4}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3+1/n}{2+4/n^2}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}3+\limes_{n\rightarrow\infty}1/n}{\limes_{n\rightarrow\infty}2+\limes_{n\rightarrow\infty}4/n^2}=\bruch{3+0}{2+0}=3/2
[/mm]
stand dann dort nur [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{3n^2+n}{2n^2+4}=\bruch{3+1/n}{2+4/n^2}=\bruch{3+1/n}{2+4/n^2}=\bruch{3+0}{2+0})=3/2.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mo 27.12.2021 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
aus meiner Sicht ist es hier zentral, bei vielen verwendeten Begriffen die Definition mit anzugeben, da wir uns nicht sicher sein können, dass alle mit allen Begriffen das gleiche meinen.
> Korrekt ist, dass bei einem Sattelpunkt die Tangente
> geschnitten wird, da ein Teil des Graphen auf der einen und
> der andere auf der anderen Tangentenseite liegt.
Betrachten wir mal folgende Funktion:
[mm] $f\colon \IR\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}), & \mbox{für } x\neq 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm] $.
Nach Wikipedia-Definition eines Sattelpunkts (Stelle $x$, an der $f$ differenzierbar ist mit $f'(x)=0$ und die keine lokale Extremstelle von $f$ ist), liegt ein Sattelpunkt an der Stelle $0$ vor.
Nach der Definition "ein Schnittpunkt von $f$ mit der $x$-Achse ist ein Punkt der Form $(x,f(x))$ mit $f(x)=0$" ist $(0,0)$ ein Schnittpunkt von $f$ mit der x-Achse.
Ob nun wie von HJKweseleit behauptet die Tangente (x-Achse) an der Stelle $0$ geschnitten wird, hängt wohl von der verwendeten Definition ab.
Jedenfalls gibt es kein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit $f(x)>0$ für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $0
Nach chrisnos beabsichtigter Definition des Schneidens läge daher kein Schneiden von $f$ und $x$-Achse vor.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 27.12.2021 | | Autor: | statler |
In diesem Beispiel ist doch die x-Achse die Wendetangente, und die deutschsprachige Bezeichnung für Tangente ist Berührlinie vom lateinischen tangere = berühren.
Für eine präzise Definition sollte man wohl besser 'Schnittpunkt' durch 'gemeinsamer Punkt' ersetzen und dann sagen, was die 'Vielfachheit' eines gemeinsamen Punktes ist.
Bei einer Wendetangente ist die Vielfachheit mindestens 3, weil Lage, Richtung und Krümmung übereinstimmen.
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