Berührungspunkt, Häufungspunkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Mi 12.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | a)
a is an adherent point<Berührungspunkt> of A [mm] \gdw [/mm] there exists a sequence [mm] (a_n) [/mm] in A: [mm] a_n [/mm] -> a [mm] (n->\infty)
[/mm]
b)
a is an accumulation point<Häufungspunkt> of A [mm] \gdw [/mm] a is an adherent point of A [mm] \setminus \{a\} [/mm] |
Hallo zusammen,
Unsere Definitionen:
a ist ein Berührungspunkt von A wenn [mm] \forall \epsilon>0 [/mm] gilt: [mm] U_\epsilon [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
a ist Häufungspunkt von A wenn [mm] \forall \epsilon>0: U_\epsilon(a) \cap [/mm] A enthält unendlich viele Punkte.
a)
=>
a sei Berührungspunkt von A
[mm] \epsilon=1 [/mm] , [mm] U_1(a) \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset, a_1 \in U_1(a) \cap [/mm] A
[mm] \epsilon=1/2 [/mm] , [mm] U_{1/2}(a) \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset, a_2 \in U_{1/2}(a) \cap [/mm] A
...
[mm] \epsilon=\frac{1}{n} [/mm] , [mm] U_{\frac{1}{n}}(a) \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset, a_n \in U_{\frac{1}{n}}(a) \cap [/mm] A
Ich hab jetzt eine Fole [mm] (a_n) [/mm] konstruiert sodass [mm] a_n \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
ZZ.: [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen a
Mir ist klar wie ich auch [mm] \epsilon [/mm] wähle, z.B [mm] \epsilon [/mm] = 1/n, dass [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] n: [mm] a_k \in U_{1/n} [/mm] (a), da die Epsilonumgebungen ja ineinander liegen.
Aber wie mache ich daraus einen Beweis??
<=
[mm] \exists (a_n) \in [/mm] A mit [mm] a_n [/mm] -> a [mm] (n->\infty)
[/mm]
d.h. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] a_n \in U_\epsilon(a)
[/mm]
Da [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] a_n \in U_\epsilon(a), a_n \in [/mm] A
=> [mm] U_\epsilon [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
b)
=>
a Häufungspunkt, d.h. [mm] \forall \epsilon>0: U_{\epsilon}(a)\cap [/mm] A unendlich viele Punkte.
Da unendlich viele Punkte darin liegen, ist klar dass mindestens einer drinnen liegt nicht a ist.
<=
a Berührungspunkt von [mm] A\setminus\{a\}
[/mm]
[mm] \forall \epsilon>0:U_{\epsilon} [/mm] (a) [mm] \cap (A\setminus\{a\})
[/mm]
das bedeutet: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in U_{\epsilon}(a) \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not=a
[/mm]
[mm] \epsilon=1 \exists x_1\in U_{1}(a) \wedge x_1 \in [/mm] A [mm] \cwedge x_1 \not=a
[/mm]
[mm] \epsilon=1/n \exists x_n \in U_{\frac{1}{n}}(a) \wedge x_n \in [/mm] A [mm] \wedge x_n \not=a
[/mm]
=> Folge [mm] (x_n) \in [/mm] A, die nach a konvergiert (?Beweis, selbe Problem wie bei a =>)
Das a ein Häufungspunkt ist würde dann aus der Konvergenz von [mm] x_n [/mm] nach a folgen.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a)
> a is an adherent point<Berührungspunkt> of A [mm]\gdw[/mm] there
> exists a sequence [mm](a_n)[/mm] in A: [mm]a_n[/mm] -> a [mm](n->\infty)[/mm]
okay, es ist also zu zeigen: [mm] $a\,$ [/mm] ist Berührpunkt von [mm] $A\,$ [/mm] genau dann, wenn es eine Folge
[mm] $(a_n)$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] (d.h. [mm] $(a_n) \in A^{\IN}$) [/mm] mit [mm] $a_n \to [/mm] a$ gibt.
> b)
> a is an accumulation point<Häufungspunkt> of A [mm]\gdw[/mm] a is
> an adherent point of A [mm]\setminus \{a\}[/mm]
[mm] $a\,$ [/mm] ist genau dann HP von [mm] $A\,$, [/mm] wenn [mm] $a\,$ [/mm] BP von $A [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] ist.
> Hallo zusammen,
>
> Unsere Definitionen:
> a ist ein Berührungspunkt von A wenn [mm]\forall \epsilon>0[/mm]
> gilt: [mm]U_\epsilon[/mm] (a) [mm]\cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
> a ist
> Häufungspunkt von A wenn [mm]\forall \epsilon>0: U_\epsilon(a) \cap[/mm]
> A enthält unendlich viele Punkte.
Man könnte HP auch mit
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0$ [mm] $U_\epsilon \cap [/mm] (A [mm] \setminus \{a\}) \not=\emptyset$
[/mm]
definieren. Spaßeshalber kannst Du diese Charakterisierung ja mal beweisen...
> a)
> =>
> a sei Berührungspunkt von A
> [mm]\epsilon=1[/mm] , [mm]U_1(a) \cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset, a_1 \in U_1(a) \cap[/mm]
> A
> [mm]\epsilon=1/2[/mm] , [mm]U_{1/2}(a) \cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset, a_2 \in U_{1/2}(a) \cap[/mm]
> A
> ...
> [mm]\epsilon=\frac{1}{n}[/mm] , [mm]U_{\frac{1}{n}}(a) \cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset, a_n \in U_{\frac{1}{n}}(a) \cap[/mm]
> A
>
> Ich hab jetzt eine Fole [mm](a_n)[/mm] konstruiert sodass [mm]a_n \in[/mm] A
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> ZZ.: [mm]a_n[/mm] konvergiert gegen a
> Mir ist klar wie ich auch [mm]\epsilon[/mm] wähle, z.B [mm]\epsilon[/mm] =
> 1/n, dass [mm]\forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] n: [mm]a_k \in U_{1/n}[/mm] (a), da die
> Epsilonumgebungen ja ineinander liegen.
> Aber wie mache ich daraus einen Beweis??
Der Beweis ist da, schreibe es etwas anders auf: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei
[mm] $\epsilon_n:=1/n\,.$
[/mm]
Dann sind alle [mm] $\epsilon_n [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] können wir also ein
[mm] $a_n \in U_{\epsilon_n}(a) \cap [/mm] A$
wählen - da alle [mm] $a_n \in [/mm] A$ konstruieren wir so also eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] in [mm] $A\,.$
[/mm]
Ist nun [mm] $\varepsilon' [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existiert ein $N' [mm] \in \IN$ [/mm] mit
($0 < $) [mm] $\frac{1}{N'}=\varepsilon_{N'} [/mm] < [mm] \varepsilon'\,.$
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge [/mm] N'$ ist aber insbesondere
[mm] $a_n \in U_{\epsilon_{N'}}(a) \subseteq U_{\varepsilon'}(a)\,.$
[/mm]
Damit folgt [mm] $a_k \to [/mm] a$ ($k [mm] \to \infty$). [/mm]
P.S. Warum kann man i.a. nicht einfach [mm] $a_k=a$ [/mm] für alle [mm] $k\,$ [/mm] setzen?
(Hinweis: Muss $a [mm] \in [/mm] A$ sein?)
> <=
> [mm]\exists (a_n) \in[/mm] A
Entweder redest Du von einer Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] in A oder Du schreibst [mm] $(a_n) \in A^{\red{\IN}}$!
[/mm]
> mit [mm]a_n[/mm] -> a [mm](n->\infty)[/mm]
> d.h. [mm]\forall \epsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> N: [mm]a_n \in U_\epsilon(a)[/mm]
> Da [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N: [mm]a_n \in U_\epsilon(a), a_n \in[/mm]
> A
> => [mm]U_\epsilon[/mm] (a) [mm]\cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
Ist okay. Ich komme aber besser bei solchen Beweisen klar, wenn sie starten
mit: "Sei also [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] ...
Und am Ende steht dann: "Weil [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ bel. war, folgt..."
Nebenbei: Es reicht folgende Argumentation oben aus: Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existiert
für die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ ein [mm] $N\,$ [/mm] mit
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Also folgt
[mm] $a_N \in [/mm] A [mm] \cap U_{\epsilon}(a)$
[/mm]
und damit ist der Schnitt rechterhand nicht leer.
> b)
> =>
> a Häufungspunkt, d.h. [mm]\forall \epsilon>0: U_{\epsilon}(a)\cap[/mm] A
enthält
> unendlich viele Punkte.
> Da unendlich viele Punkte darin liegen, ist klar dass
> mindestens einer drinnen liegt nicht a ist.
Ähm ja, und?
Mach es mit wie bei der ersten Aufgabe: Zunächst nehmen wir meinetwegen
aus der [mm] $10\,$-Umgebung [/mm] von [mm] $a\,$ [/mm] geschnitten A einen Punkt, der nicht a ist.
Nenne den [mm] $a_1\,.$
[/mm]
Wähle nun aus der
[mm] $\min\{d(a_1,a),1/1\}$-Umgebung [/mm] geschnitten mit A
(die Zahl linkerhand ist $> [mm] 0\,,$ [/mm] warum?)
einen Punkt [mm] $a_2 \not=a\,.$
[/mm]
Wähle nun aus der
[mm] $\min\{d(a_2,a),1/2\}$-Umgebung [/mm] geschnitten mit A
(die Zahl linkerhand ist $> [mm] 0\,,$ [/mm] warum?)
einen Punkt [mm] $a_3 \not=a\,.$
[/mm]
Zeige: So konstrierst Du eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] in $A [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] mit [mm] $a_n \to a\,.$
[/mm]
(P.S. Anstatt [mm] $\min\{d(a_j,a),1/j\}$ [/mm] reicht es auch, [mm] $1/j\,$ [/mm] da hinzuschreiben. Bei
irgendeinem Beweis hatte ich aber mal obige Methode gebraucht, daher
ist es vielleicht dennoch gut, sie mal gesehen zu haben...)
> <=
> a Berührungspunkt von [mm]A\setminus\{a\}[/mm]
> [mm]\forall \epsilon>0:U_{\epsilon}[/mm] (a) [mm]\cap (A\setminus\{a\})[/mm]
In a) hast Du was gelernt, nämlich, dass es dann eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] in [mm] $A\red{\,\setminus\{a\}}$
[/mm]
(nein, das ist kein Verschreiber: $A [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] übernimmt hier die Rolle
von [mm] $A\,$ [/mm] der Formulierung in a)) gibt mit
[mm] $a_n \to a\,.$
[/mm]
Benutze das (anstatt das alles nochmal zu bauen).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Do 13.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Marcel,
Ich verstehe bei b) => überhaupt nicht warum du dir das so schwer machst?
Jeder Häufungspunkt von A ist doch auch ein Berührungspunkt von A.
Wenn jede [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] um a unendlich viele Punkte in A enthält, dann enthält jede [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] um a auch unendlich viele Punkte in [mm] A\setminus\{a\}. [/mm] Da ich ja nur einen Punkt "wegstreichen" muss.
> Mach es mit wie bei der ersten Aufgabe: Zunächst nehmen wir meinetwegen
> aus der $ [mm] 10\, [/mm] $-Umgebung von $ [mm] a\, [/mm] $ geschnitten A einen Punkt, der nicht a ist.
> Nenne den $ [mm] a_1\,. [/mm] $
> Wähle nun aus der
> $ [mm] \min\{d(a_1,a),1/1\} [/mm] $-Umgebung geschnitten mit A
> (die Zahl linkerhand ist $ > [mm] 0\,, [/mm] $ warum?)
> einen Punkt $ [mm] a_2 \not=a\,. [/mm] $
> Wähle nun aus der
> $ [mm] \min\{d(a_2,a),1/2\} [/mm] $-Umgebung geschnitten mit A
> (die Zahl linkerhand ist $ > [mm] 0\,, [/mm] $ warum?)
> einen Punkt $ [mm] a_3 \not=a\,. [/mm] $
> Zeige: So konstrierst Du eine Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ in $ A [mm] \setminus \{a\} [/mm] $ mit $ [mm] a_n \to a\,. [/mm] $
> (P.S. Anstatt $ [mm] \min\{d(a_j,a),1/j\} [/mm] $ reicht es auch, $ [mm] 1/j\, [/mm] $ da hinzuschreiben. Bei
> irgendeinem Beweis hatte ich aber mal obige Methode gebraucht, daher
> ist es vielleicht dennoch gut, sie mal gesehen zu haben...)
Warum kommst du dann auf [mm] \min\{d(a_j,a),1/j\} [/mm] wenn wir das einfach wie vorher mit 1/j machen können?
Warum nimmst du plötzlich [mm] a_1 [/mm] aus der 10-ten [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] und beginntst nicht wie vorher in a) mit [mm] \epsilon_1=1/1
[/mm]
> <=
> a Berührungspunkt von $ [mm] A\setminus\{a\} [/mm] $
> $ [mm] \forall \epsilon>0:U_{\epsilon} [/mm] $ (a) $ [mm] \cap (A\setminus\{a\}) [/mm] $
> In a) hast Du was gelernt, nämlich, dass es dann eine Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ in $ > [mm] A\red{\,\setminus\{a\}} [/mm] $
> (nein, das ist kein Verschreiber: $ A [mm] \setminus \{a\} [/mm] $ übernimmt hier die Rolle
> von $ [mm] A\, [/mm] $ der Formulierung in a)) gibt mit
> $ [mm] a_n \to a\,. [/mm] $
> Benutze das (anstatt das alles nochmal zu bauen).
a ist Berührungspunkt von [mm] A\setminus\{a\}, [/mm] d.h. nach Aufgabe a), dass eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in [mm] A\setminus\{a\} [/mm] existiert mit: [mm] a_n [/mm] -> a [mm] (n->\infty)
[/mm]
D.h. Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] dann [mm] (\exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall n\ge N:a_n \in U_\epsilon(a)) \wedge (\forall [/mm] n [mm] \in \IN:a_n \in [/mm] A [mm] \wedge a_n \not= [/mm] a )
Was genau bedeutet, dass es unendlich viele Punkte für beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] in [mm] U_\epsilon(a)\cap (A\setminus\{a\}) [/mm] gibt.
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo Marcel,
>
> Ich verstehe bei b) => überhaupt nicht warum du dir das so
> schwer machst?
> Jeder Häufungspunkt von A ist doch auch ein
> Berührungspunkt von A.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn jede [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] um a unendlich viele Punkte in
> A enthält, dann enthält jede [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] um a auch
> unendlich viele Punkte in [mm]A\setminus\{a\}.[/mm]
Das gehört aber minimal begründet (auch, wenn es noch so trivial klingt).
> Da ich ja nur einen Punkt "wegstreichen" muss.
Ich sagte ja auch nicht, dass ich elegant vorgehe. 
> > Mach es mit wie bei der ersten Aufgabe: Zunächst nehmen
> wir meinetwegen
> > aus der [mm]10\, [/mm]-Umgebung von [mm]a\,[/mm] geschnitten A einen
> Punkt, der nicht a ist.
>
> > Nenne den [mm]a_1\,.[/mm]
>
> > Wähle nun aus der
>
> > [mm]\min\{d(a_1,a),1/1\} [/mm]-Umgebung geschnitten mit A
>
> > (die Zahl linkerhand ist [mm]> 0\,,[/mm] warum?)
>
> > einen Punkt [mm]a_2 \not=a\,.[/mm]
>
> > Wähle nun aus der
>
> > [mm]\min\{d(a_2,a),1/2\} [/mm]-Umgebung geschnitten mit A
>
> > (die Zahl linkerhand ist [mm]> 0\,,[/mm] warum?)
>
> > einen Punkt [mm]a_3 \not=a\,.[/mm]
>
> > Zeige: So konstrierst Du eine Folge [mm](a_n)[/mm] in [mm]A \setminus \{a\}[/mm]
> mit [mm]a_n \to a\,.[/mm]
>
> > (P.S. Anstatt [mm]\min\{d(a_j,a),1/j\}[/mm] reicht es auch, [mm]1/j\,[/mm] da
> hinzuschreiben. Bei
> > irgendeinem Beweis hatte ich aber mal obige Methode
> gebraucht, daher
> > ist es vielleicht dennoch gut, sie mal gesehen zu
> haben...)
>
> Warum kommst du dann auf [mm]\min\{d(a_j,a),1/j\}[/mm] wenn wir das
> einfach wie vorher mit 1/j machen können?
Habe ich doch geschrieben: das war unnötig, aber am Ende habe ich es
doch stehen gelassen, weil ich mich erinnere, dass es eine (andere)
Aussage gibt (die ich aber gerade nicht im Kopf habe), wo man sowas
gebrauchen kann. Hier ist es unnötig.
> Warum nimmst du plötzlich [mm]a_1[/mm] aus der 10-ten
> [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] und beginntst nicht wie vorher in a) mit
> [mm]\epsilon_1=1/1[/mm]
Weil es im Endeffekt vollkommen irrelevant ist. Ich kann auch eines aus der
10000-Umgebung nehmen...
>
> > <=
> > a Berührungspunkt von [mm]A\setminus\{a\}[/mm]
> > [mm]\forall \epsilon>0:U_{\epsilon}[/mm] (a) [mm]\cap (A\setminus\{a\})[/mm]
>
> > In a) hast Du was gelernt, nämlich, dass es dann eine
> Folge [mm](a_n)[/mm] in [mm]> A\red{\,\setminus\{a\}}[/mm]
> > (nein, das ist
> kein Verschreiber: [mm]A \setminus \{a\}[/mm] übernimmt hier die
> Rolle
> > von [mm]A\,[/mm] der Formulierung in a)) gibt mit
>
> > [mm]a_n \to a\,.[/mm]
>
> > Benutze das (anstatt das alles nochmal zu bauen).
> a ist Berührungspunkt von [mm]A\setminus\{a\},[/mm] d.h. nach
> Aufgabe a), dass eine Folge [mm](a_n)[/mm] in [mm]A\setminus\{a\}[/mm]
> existiert mit: [mm]a_n[/mm] -> a [mm](n->\infty)[/mm]
> D.h. Sei [mm]\epsilon>0[/mm] dann [mm](\exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall n\ge N:a_n \in U_\epsilon(a)) \wedge (\forall[/mm]
> n [mm]\in \IN:a_n \in[/mm] A [mm]\wedge a_n \not=[/mm] a )
> Was genau bedeutet, dass es unendlich viele Punkte für
> beliebiges [mm]\epsilon>0[/mm] in [mm]U_\epsilon(a)\cap (A\setminus\{a\})[/mm]
> gibt.
Das ist zwar korrekt, geht mir aber zu schnell: Angenommen, es gäbe ein
[mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass es nur endlich viele Punkte
[mm] $\tilde{a}_1,...,\tilde{a}_N$
[/mm]
in [mm] $U_{\epsilon_0}(a) \cap [/mm] A$ gibt. Warum ist dann
[mm] $\epsilon':=\min\{|\tilde{a}_k-a|:\;\; k=1,...N\}$
[/mm]
eine Zahl $> [mm] 0\,,$ [/mm] und warum darf ich da eigentlich [mm] $\min$ [/mm] hinschreiben?
Zeige, dass dann
[mm] $U_{\epsilon'}(a) \cap [/mm] A$
leer wäre. Kann dann noch [mm] $a_n \to [/mm] a$ gelten (wenn doch insbesondere
alle [mm] $a_n \in [/mm] A$ sind)?
(Edit: Sissile war hier aufgefallen, dass ich eine Überlegung übergangen habe.
Das Ganze wurde hier *geflickt*!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Do 13.11.2014 | | Autor: | sissile |
> > > Benutze das (anstatt das alles nochmal zu bauen).
> > a ist Berührungspunkt von [mm]A\setminus\{a\},[/mm] d.h. nach
> > Aufgabe a), dass eine Folge [mm](a_n)[/mm] in [mm]A\setminus\{a\}[/mm]
> > existiert mit: [mm]a_n[/mm] -> a [mm](n->\infty)[/mm]
> > D.h. Sei [mm]\epsilon>0[/mm] dann [mm](\exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall n\ge N:a_n \in U_\epsilon(a)) \wedge (\forall[/mm]
> > n [mm]\in \IN:a_n \in[/mm] A [mm]\wedge a_n \not=[/mm] a )
> > Was genau bedeutet, dass es unendlich viele Punkte für
> > beliebiges [mm]\epsilon>0[/mm] in [mm]U_\epsilon(a)\cap (A\setminus\{a\})[/mm]
> > gibt.
>
> Das ist zwar korrekt, geht mir aber zu schnell: Angenommen,
> es gäbe ein
> [mm]\epsilon_0 > 0[/mm] so, dass es nur endlich viele Punkte
>
> [mm]\tilde{a}_1,...,\tilde{a}_N[/mm]
>
> in [mm]U_{\epsilon_0}(a) \cap A[/mm] gibt. Warum ist dann
>
> [mm]\epsilon':=\min\{|\tilde{a}_k-a|:\;\; k=1,...N\}[/mm]
> eine Zahl [mm]> 0\,,[/mm] und warum darf ich da eigentlich [mm]\min[/mm]
> hinschreiben?
Da jede nichtleere endliche Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ein Supremum und Infimum hat und dieses enthält.
Das hat man glaub ich in der Einführungsvorlesung mittels Induktion geemacht.
Die Beträge sind alle [mm] \ge [/mm] 0. Das Minimum, was selbst Element der Menge ist demnach auch.
Warum ist [mm] \epsilon'\not= [/mm] 0? Da kommt die äquivalente Frage auf wieso alle Punkte [mm] \tilde{a}_1,...,\tilde{a}_N [/mm] nicht a sind?
Da bin ich auf keine Antwort gekommen..Weil wir ja nicht wissen ob a [mm] \in [/mm] A oder a [mm] \not\in [/mm] A
>
> Zeige, dass dann
>
> [mm]U_{\epsilon'}(a) \cap A[/mm]
>
> leer wäre.
Naja wenn x [mm] \in U_{\epsilon'} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A.
Da x [mm] \in U_{\epsilon'} [/mm] (a): [mm] |x-a|<\epsilon'
[/mm]
Da x [mm] \in [/mm] A und [mm] \epsilon-Umgebungen [/mm] verschachtelt => x [mm] \in U_{\epsilon_0} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A
Und dann wäre [mm] |x-a|<\epsilon' [/mm] ein Widerspruch bezüglich des Mimimums [mm] \epsilon'.
[/mm]
> Kann dann noch [mm]a_n \to a[/mm] gelten (wenn doch
> insbesondere
> alle [mm]a_n \in A[/mm] sind)?
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> > > > Benutze das (anstatt das alles nochmal zu bauen).
> > > a ist Berührungspunkt von [mm]A\setminus\{a\},[/mm] d.h.
> nach
> > > Aufgabe a), dass eine Folge [mm](a_n)[/mm] in [mm]A\setminus\{a\}[/mm]
> > > existiert mit: [mm]a_n[/mm] -> a [mm](n->\infty)[/mm]
> > > D.h. Sei [mm]\epsilon>0[/mm] dann [mm](\exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall n\ge N:a_n \in U_\epsilon(a)) \wedge (\forall[/mm]
> > > n [mm]\in \IN:a_n \in[/mm] A [mm]\wedge a_n \not=[/mm] a )
> > > Was genau bedeutet, dass es unendlich viele Punkte
> für
> > > beliebiges [mm]\epsilon>0[/mm] in [mm]U_\epsilon(a)\cap (A\setminus\{a\})[/mm]
> > > gibt.
> >
> > Das ist zwar korrekt, geht mir aber zu schnell: Angenommen,
> > es gäbe ein
> > [mm]\epsilon_0 > 0[/mm] so, dass es nur endlich viele Punkte
> >
> > [mm]\tilde{a}_1,...,\tilde{a}_N[/mm]
> >
> > in [mm]U_{\epsilon_0}(a) \cap A[/mm] gibt. Warum ist dann
> >
> > [mm]\epsilon':=\min\{|\tilde{a}_k-a|:\;\; k=1,...N\}[/mm]
> > eine Zahl [mm]> 0\,,[/mm] und warum darf ich da eigentlich [mm]\min[/mm]
> > hinschreiben?
>
> Da jede nichtleere endliche Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ein Supremum
> und Infimum hat und dieses enthält.
ja, kurzgesagt: Endliche Teilmengen der reellen Zahlen haben ein Maximum
und ein Minimum.
> Das hat man glaub ich in der Einführungsvorlesung mittels
> Induktion geemacht.
> Die Beträge sind alle [mm]\ge[/mm] 0. Das Minimum, was selbst
> Element der Menge ist demnach auch.
> Warum ist [mm]\epsilon'\not=[/mm] 0? Da kommt die äquivalente
> Frage auf wieso alle Punkte [mm]\tilde{a}_1,...,\tilde{a}_N[/mm]
> nicht a sind?
Diese Fall ist doch uninteressant, denn damit wäre
[mm] $U_{\epsilon'}(a) \cap A=\{a\}$
[/mm]
ja nur einelementig. (Warum kann es dann keine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] in $A [mm] \setminus \{a\}$
[/mm]
mit [mm] $a_n \to [/mm] a$ geben? Weil sie dann "irgendwann konstant [mm] $=a\,$ [/mm] werden
müsste" - was wegen $a [mm] \notin [/mm] A [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] nicht geht.)
Aber Du hast Recht: Ich hätte besser gesagt, dass wir annehmen, dass
[mm] $U_{\epsilon'}(a) \cap [/mm] (A [mm] \setminus \{a\})=\{\tilde{a}_1,...,\tilde{a}_N\}$
[/mm]
endlich sei.
Beachte: Für jedes $r > [mm] 0\,$ [/mm] ist
[mm] $U_{r}(a) \cap [/mm] A$
genau dann endlich, wenn
[mm] $U_r(a) \cap [/mm] (A [mm] \setminus \{a\})$
[/mm]
dies ist.
In meiner vorherigen Formulierung hätte ich also dazuschreiben müssen,
dass wir dabei o.E. annehmen können, dass
[mm] $\tilde{a}_k \not=a$ [/mm] für alle $k=1,...,N$
gilt. Gut aufgepasst. 
Aber so ist es jetzt klar, oder?
> Da bin ich auf keine Antwort gekommen..Weil wir ja nicht
> wissen ob a [mm]\in[/mm] A oder a [mm]\not\in[/mm] A
S.o. Alle Einwände beseitigt? (Das ist ernsthaft gefragt, denn auch ich
übersehe hin und wieder etwas. Gut, dass Dir da meine *Schlampigkeit*
aufgefallen war!)
> >
> > Zeige, dass dann
> >
> > [mm]U_{\epsilon'}(a) \cap A[/mm]
> >
> > leer wäre.
>
> Naja wenn x [mm]\in U_{\epsilon'}[/mm] (a) [mm]\cap[/mm] A.
> Da x [mm]\in U_{\epsilon'}[/mm] (a): [mm]|x-a|<\epsilon'[/mm]
> Da x [mm]\in[/mm] A und [mm]\epsilon-Umgebungen[/mm] verschachtelt => x [mm]\in U_{\epsilon_0}[/mm]
> (a) [mm]\cap[/mm] A
> Und dann wäre [mm]|x-a|<\epsilon'[/mm] ein Widerspruch bezüglich
> des Mimimums [mm]\epsilon'.[/mm]
Da verstehe ich Dich gerade nicht wirklich, was Du sagen willst. Also nochmal
mit der Korrektur:
Wir haben o.E. angenommen, dass [mm] $U_{\epsilon'} \cap [/mm] (A [mm] \setminus \{a\})$ [/mm] endlich
sei, [mm] $=\{\tilde{a}_1\,...,\tilde{a}_N\}\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $\epsilon':=\min\{|\tilde{a}_1-a|\,...,|\tilde{a}_N-a|\}$
[/mm]
(echt) positiv als Minimum einer Menge (echt) positiver Zahlen.
> > Kann dann noch [mm]a_n \to a[/mm] gelten (wenn doch
> > insbesondere
> > alle [mm]a_n \in A[/mm] sind)?
Dann folgt doch
[mm] $U_{\epsilon'}(a) \cap [/mm] (A [mm] \setminus \{a\})=\varnothing\,.$
[/mm]
Angeblich war aber [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge in [mm] $\red{\,A \setminus \{a\}\,}$ [/mm] mit [mm] $a_n \to [/mm] a$...
Gruß,
Marcel
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