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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Mueritz |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x) [mm] =\bruch{1}{12}x^4- \bruch{1}{3}x^3+ \bruch{9}{4}
[/mm]
Legt man vom Punkt R(4/0) die Tangenten an den Graphen der Funktion, so gibt es vier verschiedene Berührungspunkte. Gib alle Berührungspunkte an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Funktion f(x) gezeichnet und kann mir ungefähr denken, wo die Berührungspunkte sind. Doch wie kann ich sie exakt errechnen?
Vielen Dank schon vorher
Mueritz
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Hallo!
> Gegeben sei die Funktion f(x) [mm]=\bruch{1}{12}x^4- \bruch{1}{3}x^3+ \bruch{9}{4}[/mm]
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> Legt man vom Punkt R(4/0) die Tangenten an den Graphen der
> Funktion, so gibt es vier verschiedene Berührungspunkte.
> Gib alle Berührungspunkte an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe die Funktion f(x) gezeichnet und kann mir ungefähr
> denken, wo die Berührungspunkte sind. Doch wie kann ich sie
> exakt errechnen?
Also, normalerweise setzt du dann einfach die Tangente gleich der Funktion und berechnest die Schnittpunkte. Allerdings sieht diese Funktion hier incl. Tangente doch so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da sehe ich nur einen einzigen Berührungspunkt!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Mueritz |
Ich bin mir ganz sicher, dass die Frage so lautet. Könnte es sich vielleicht um 4 verschiedene Tangenten handeln, die alle durch den Punkt R (4/0) verlaufen und den Graphen dann z.B. am lokalen Maximum- und Minimumpunkt berühren? Doch wenn das so wäre, wie berechnet man das?
Gruß Mueritz
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Hallo Mueritz!
> Ich bin mir ganz sicher, dass die Frage so lautet. Könnte
> es sich vielleicht um 4 verschiedene Tangenten handeln, die
> alle durch den Punkt R (4/0) verlaufen und den Graphen dann
> z.B. am lokalen Maximum- und Minimumpunkt berühren? Doch
> wenn das so wäre, wie berechnet man das?
Also, Tangente kann es eigentlich nur eine geben, denn die Steigung der Tangente ist die Ableitung in dem Punkt, und die ist ja eindeutig. Aber du hast doch gesagt, dass du dir vorstellen kannst, wo die Berührpunkte sein könnten, wo hast du sie dir denn da vorgestellt?
Ansonsten, wie auch immer es gemeint ist: du musst die Tangentengleichung aufstellen und sie mit der Funktion gleichsetzen (und dann nach x auflösen).
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Mueritz |
Nun, ich dachte mir, dass die Tangenten alle durch den Punkt R verlaufen und den Graphen an vier verschiedenen Stellen berühren. das würde dann ja heißen, dass ich den Punkt nicht in die Ableitung zur Berechnung von [mm] m_{t} [/mm] einsetzen kann, da es ja nicht der Berührpunkt ist. Da die Tangente durch den Berührpunkt und R verläuft könnten die Berührpunkte bei ungefähr: (3/0); (4/4); (1/2,2); (-0,75/2,2) liegen. Doch da ich diese Punkte abgelesen habe sind sie ja nicht genau. also muss ich sie irgendwie berechnen, nur leider wiß ich nicht wie!
Gruß Mueritz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Müritz!
Mit der Punkt-Steigungs-Form können wir die Geradengleichung durch den vorgegebenen Punkt aufstellen:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-0}{x-4}$ $\gdw$ [/mm] $y \ = \ [mm] m_t*(x-4)$
[/mm]
Seien [mm] $u_k$ [/mm] die Berührstellen dieser Tangente mit der Kurve. Dann gilt dort jeweils:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(u) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}u^3-u^2$
[/mm]
$y \ = \ f(u) \ = \ [mm] \bruch{1}{12}u^4-\bruch{1}{3}u^3+\bruch{9}{4}$
[/mm]
Dies eingesetzt in unsere Tangentengleichung liefert unsere Bestimmungsgleichung für die insgesamt 4 $u_$-Werte:
[mm] $\red{y} [/mm] \ = \ [mm] \blue{m_t}*(x-4)$
[/mm]
[mm] $\red{\bruch{1}{12}u^4-\bruch{1}{3}u^3+\bruch{9}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \left(\blue{\bruch{1}{3}u^3-u^2}\right)*(u-4)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Mueritz |
Vielen, vielen Dank!!!
Meine Mathezensur ist gerettet und ich habs auch verstanden!!!
Mueritz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Fr 10.03.2006 | | Autor: | bjochen |
Ich hab mir das so vorgestellt und verstehe auch was du meinst.
Also du berechnest erstmal die Ableitung der Funktion f'(x)
Diese ist auch die Steigung der Tangente also m.
also hast du folgende Formel:
y = f'(x) * x + b
Nun hast du ja den Punkt R(4|0)
Den kannst du einsetzen:
0 = f'(x) * 4 + b <-- aufpassen hier hast du 2 variablen. einmal x (wegen der Ableitung) und einmal b
und
f'(x) *x + b = f(x)
Jetzt einfach das Gleichungssystem Lösung. ;)
Ich hoffe das meine Überlegungen richtig sind und du sie auch verstanden hast. ^^
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