Beschränkt/Gleichmäßig stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Do 01.03.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Es sind zwei gleichmäßig stetige Funktionen f,g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben.
Ist die AUssage falsch oder richtig?
Ist f beschränkt, so ist f * g gleichmäßig stetig |
Ich glaube die Aussage ist falsch und f und g müssen beschränkt sein, dass f*g gleichmäßig stetig ist
Bin also auf der Suche nach einen Gegenbeispiel:
g(x)=x -> nicht beschränkt und gleichmäßig stetig
Jezt bräuchte ich noch eine beschränkte, gleichmäßig stetige Funktion..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sind zwei gleichmäßig stetige Funktionen f,g: [mm]\IR[/mm] ->
> [mm]\IR[/mm] gegeben.
> Ist die AUssage falsch oder richtig?
> Ist f beschränkt, so ist f * g gleichmäßig stetig
>
> Ich glaube die Aussage ist falsch und f und g müssen
> beschränkt sein, dass f*g gleichmäßig stetig ist
> Bin also auf der Suche nach einen Gegenbeispiel:
> g(x)=x -> nicht beschränkt und gleichmäßig stetig
>
> Jezt bräuchte ich noch eine beschränkte, gleichmäßig
> stetige Funktion..
ich denke, dass Deine Aussage richtig ist. Ich habe folgendes überlegt:
Ist [mm] $S\,$ [/mm] (obere) Schranke für [mm] $|f|\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$\,|f(x)*g(x)-f(y)*g(y)|=|(f(x)-f(y))g(x)+f(y)g(x)-f(y)g(y)| \le [/mm] |f(x)-f(y)||g(x)|+|f(y)||g(x)-g(y)| [mm] \le |f(x)-f(y)|\;|g(x)|+S*|g(x)-g(y)|\,.$$
[/mm]
Das zeigt immerhin, dass Deine Vermutung, wenn beide Funktionen zudem beschränkt sind, die glm. Stetigkeit impliziert.
Ansonsten würde ich vielleicht sagen:
Betrachte [mm] $f(x):=\sin(x^2)/x$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 1$ und definiere [mm] $f(x):=f(1)=\sin(1)/1$ [/mm] für [mm] $-\infty [/mm] < x < [mm] 1\,.$ [/mm] Ich hoffe mal, dass man zeigen kann, dass [mm] $f\,$ [/mm] gleichmäßig stetig ist. Beschränkt ist [mm] $f\,$ [/mm] sicherlich per Definitionem.
Dann betrachte [mm] $g(x):=x\,$ [/mm] auf [mm] $\IR\,.$ [/mm] Und ich denke, es ist nicht schwer, einzusehen, dass dann [mm] $(f*g)(x)=\sin(x^2)$ [/mm] NICHT GLM. STETIG ist!
Gruß,
Marcel
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