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Beschränkte Ableitung: Aufgabe zum neuen Jahr
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 10:56 Do 07.01.2010
Autor: fred97

Zum neuen Jahr eine schöne Aufgabe:

Aufgabe
Die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] sei auf [mm] \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar und es existieren [mm] $c_1 [/mm] >0, [mm] c_2 [/mm] >0$ mit

               $|f(x)| [mm] \le c_1$ [/mm]  für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm]

und

               $|f''(x)| [mm] \le c_2$ [/mm]  für jedes $x [mm] \in \IR$. [/mm]

Man zeige:

               $|f'(x)| [mm] \le 2\wurzel{c_1*c_2}$ [/mm]  für jedes $x [mm] \in \IR$. [/mm]

Wer hat Lust, sich daran zu versuchen ?

Grüße FRED

        
Bezug
Beschränkte Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Do 07.01.2010
Autor: felixf

Moin Fred,

> Zum neuen Jahr eine schöne Aufgabe:

die ist tatsaechlich schoen, und soo schwer ist der Beweis nun auch wieder nicht. Aber ich vermute du kennst ihn sowieso ;-)

> Die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] sei auf [mm]\IR[/mm] zweimal stetig
> differenzierbar und es existieren [mm]c_1 >0, c_2 >0[/mm] mit
>  
> [mm]|f(x)| \le c_1[/mm]  für jedes [mm]x \in \IR[/mm]
>  
> und
>
> [mm]|f''(x)| \le c_2[/mm]  für jedes [mm]x \in \IR[/mm].
>  
> Man zeige:
>  
> [mm]|f'(x)| \le 2\wurzel{c_1*c_2}[/mm]  für jedes [mm]x \in \IR[/mm].

Sei $x [mm] \in \IR$ [/mm] fest gewaehlt. Fuer $t > 0$ ist $f'(x + t) - f'(x) = [mm] \int_x^{x + t} [/mm] f''(s) [mm] \; [/mm] ds [mm] \ge -c_2 [/mm] t$ und analog $f'(x - t) - f'(x) [mm] \ge -c_2 [/mm] t$; also gilt $f'(x + t) [mm] \ge [/mm] f'(x) - [mm] c_2 [/mm] |t|$ fuer alle $t [mm] \in \IR$. [/mm] Fuer ein beliebiges $a > 0$ folgt damit $f(x + a) - f(x - a) = [mm] \int_{x - a}^{x + a} [/mm] f'(ds) [mm] \; [/mm] ds [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \int_0^a [/mm] f'(x) - [mm] c_2 [/mm] s [mm] \; [/mm] ds = 2 a f'(x) - [mm] c_2 a^2$. [/mm]

Sei nun angenommen, dass es ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit $|f'(x)| > 2 [mm] \sqrt{c_1 c_2}$; [/mm] ohne Einschraenkung sei $f'(x) > 0$, also $f'(x) > 2 [mm] \sqrt{c_1 c_2}$ [/mm] (andernfalls $f$ durch $-f$ ersetzen). Waehlt man $a = f'(x) / [mm] c_2$, [/mm] so erhaelt man $f(x + a) - f(x - a) [mm] \ge f'(x)^2 [/mm] / [mm] c_2 [/mm] > 2 [mm] c_1$. [/mm] Jedoch muss nach Voraussetzung $|f(x + a) - f(x - a)| [mm] \le [/mm] |f(x + a)| + |f(x - a)| [mm] \le [/mm] 2 [mm] c_1$ [/mm] gelten, ein Widerspruch!

Also muss $|f'(x)| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \sqrt{c_1 c_2}$ [/mm] gelten.



EDIT: Ich hab das mal fuer alle anderen unlesbar gemacht; es soll ja nicht gleich alles verraten werden (ich dachte eigentlich das passiert von alleine). Eine Frage haette ich noch: gilt nicht sogar $<$ und nicht nur [mm] $\le$? [/mm] Wenn naemlich $=$ eintreten sollte in einem Punkt $x$, dann muesste doch $f'(x + t)$ links oder rechts von $x$ echt ueber der Schranke $f'(x) - 2 |t|$ liegen, und wegen der Stetigkeit wuerde man dann ebenfalls $|f(x + a) - f(x - a)| > 4 [mm] c_1$ [/mm] herausbekommen? Oder vertue ich mich da?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Beschränkte Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:14 Fr 08.01.2010
Autor: fred97

Hallo Felix,

Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge habe , ist methodisch ganz anders

Gruß FRED

Bezug
                        
Bezug
Beschränkte Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Fr 08.01.2010
Autor: felixf

Hallo Fred,

> Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge
> habe , ist methodisch ganz anders

dann bin ich aber mal gespannt welche Loesung du im Auge hast :) Magst du sie mir verraten?

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Beschränkte Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Fr 08.01.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge
> > habe , ist methodisch ganz anders
>  
> dann bin ich aber mal gespannt welche Loesung du im Auge
> hast :) Magst du sie mir verraten?


Gerne:

Sei x [mm] \in \IR [/mm] (fest). Weiter sei h>0. Nach dem Satz von Taylor gibt es ein [mm] $\xi \in [/mm] [x, x+h]$ mit

  $f(x+h) = f(x)+hf'(x)+ [mm] \bruch{h^2}{2}f''(\xi)$ [/mm]

Es folgt

   $f'(x) = [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}- \bruch{h}{2}f''(\xi)$, [/mm]

und somit

   $|f'(x)| [mm] \le \bruch{2c_1}{h}+ \bruch{h}{2}c_2$. [/mm]

Wählt man nun speziell $h = [mm] 2*\wurzel{ \bruch{c_1}{c_2}}$, [/mm] so erhält man das Resultat

Grüße FRED


P.S. die obige spezielle Wahl von h sollte nicht überaschen, denn die Funktion

            $ h [mm] \mapsto \bruch{2c_1}{h}+ \bruch{h}{2}c_2$ [/mm]

hat in $h = [mm] 2*\wurzel{ \bruch{c_1}{c_2}}$ [/mm] ihr Minimum.

>  
> LG Felix
>  


Bezug
                                        
Bezug
Beschränkte Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Fr 08.01.2010
Autor: felixf

Hallo Fred,

> > > Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge
> > > habe , ist methodisch ganz anders
>  >  
> > dann bin ich aber mal gespannt welche Loesung du im Auge
> > hast :) Magst du sie mir verraten?
>  
>
> Gerne:
>  
> Sei x [mm]\in \IR[/mm] (fest). Weiter sei h>0. Nach dem Satz von
> Taylor gibt es ein [mm]\xi \in [x, x+h][/mm] mit
>  
> [mm]f(x+h) = f(x)+hf'(x)+ \bruch{h^2}{2}f''(\xi)[/mm]

ah, an Taylor hatte ich gar nicht gedacht. Mir ist spontan nur der Hauptsatz der Integral- und Differentialgleichung eingefallen, um $f$, $f'$ und $f''$ in Beziehung zu setzen (sieht man mal von den Mittelwertsaetzen ab).

> P.S. die obige spezielle Wahl von h sollte nicht
> überaschen, denn die Funktion
>  
> [mm]h \mapsto \bruch{2c_1}{h}+ \bruch{h}{2}c_2[/mm]
>  
> hat in [mm]h = 2*\wurzel{ \bruch{c_1}{c_2}}[/mm] ihr Minimum.

Ja, das stimmt.

Mit der Methode kommt man aber nicht so einfach darauf, dass $|f'(x)| < 2 [mm] \sqrt{c_1 c_2}$ [/mm] sein muss, oder?

LG Felix


PS: Ich habe schachuzipus Leserechte eingeraeumt, da er mich darum gebeten hat und (laut eigenen Angaben) keine Antwortabsichten hat.


Bezug
                                                
Bezug
Beschränkte Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Fr 08.01.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > > > Dein Beweis gefällt mir sehr, die Lösung, die ich im Auge
> > > > habe , ist methodisch ganz anders
>  >  >  
> > > dann bin ich aber mal gespannt welche Loesung du im Auge
> > > hast :) Magst du sie mir verraten?
>  >  
> >
> > Gerne:
>  >  
> > Sei x [mm]\in \IR[/mm] (fest). Weiter sei h>0. Nach dem Satz von
> > Taylor gibt es ein [mm]\xi \in [x, x+h][/mm] mit
>  >  
> > [mm]f(x+h) = f(x)+hf'(x)+ \bruch{h^2}{2}f''(\xi)[/mm]
>  
> ah, an Taylor hatte ich gar nicht gedacht. Mir ist spontan
> nur der Hauptsatz der Integral- und Differentialgleichung
> eingefallen, um [mm]f[/mm], [mm]f'[/mm] und [mm]f''[/mm] in Beziehung zu setzen (sieht
> man mal von den Mittelwertsaetzen ab).
>  
> > P.S. die obige spezielle Wahl von h sollte nicht
> > überaschen, denn die Funktion
>  >  
> > [mm]h \mapsto \bruch{2c_1}{h}+ \bruch{h}{2}c_2[/mm]
>  >  
> > hat in [mm]h = 2*\wurzel{ \bruch{c_1}{c_2}}[/mm] ihr Minimum.
>  
> Ja, das stimmt.
>  
> Mit der Methode kommt man aber nicht so einfach darauf,
> dass [mm]|f'(x)| < 2 \sqrt{c_1 c_2}[/mm] sein muss, oder?

Ja, ich sehe es noch nicht


>  
> LG Felix
>  
>
> PS: Ich habe schachuzipus Leserechte eingeraeumt,

Prima

Gruß FRED

> da er
> mich darum gebeten hat und (laut eigenen Angaben) keine
> Antwortabsichten hat.
>  


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