Beschränkte Ableitungsfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
Werte Community,
bei folgendem Problem komme ich leider nicht weiter:
Gegeben sei eine Funktion f, die beschränkt und differenzierbar ist.
Folgt daraus die Beschränktheit der Ableitung?
Meiner Intuition nach müsste auch die Ableitung beschränkt sein. Könnt ihr dies auch bestätigen? Möglicherweise könnte dies auch jemand beweisen.
Danke im voraus.
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Ich habe im Moment eine Lösungsidee, bitte um die Bestätigung:
Auf wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit ist folgender Satz zu lesen:
Eine differenzierbare Funktion f ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.
Wenn man nun bedenkt, dass eine beschränkte stetige Funktion Lipschitz-stetig ist, so müsste die Behauptung folgen. Stimmt das?
Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe im Moment eine Lösungsidee, bitte um die
> Bestätigung:
>
> Auf wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit
> ist folgender Satz zu lesen:
>
> Eine differenzierbare Funktion f ist genau dann
> Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt
> ist.
>
> Wenn man nun bedenkt, dass eine beschränkte stetige
> Funktion Lipschitz-stetig ist,
man sollte eher bedenken, dass es falsch ist, sowas zu bedenken!
Betrachte [mm] $f(x):=\sin(1/x)$ [/mm] für $x > 0$ (also $f [mm] \colon (0,\infty) \to \IR$). [/mm] Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig
und beschränkt, aber sicher nicht Lipschitzstetig:
Es gilt hier doch
[mm] $$f\,'(x)=-\frac{1}{x^2}*\cos(1/x)\,.$$
[/mm]
Betrachte nun speziell [mm] $x=x_n=\frac{1}{n*2\pi}$!
[/mm]
Es gibt also eine (stetig) differenzierbare Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (auch [mm] $f\,'$ [/mm] ist ja stetig!),
die damit insbesondere natürlich stetig ist, und deren Ableitung aber unbeschränkt
ist, woraus mit dem von Dir erwähnten Satz sofort folgt, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht Lipschitzsch
sein kann!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.]
>
> Werte Community,
>
> bei folgendem Problem komme ich leider nicht weiter:
>
> Gegeben sei eine Funktion f, die beschränkt und
> differenzierbar ist.
>
> Folgt daraus die Beschränktheit der Ableitung?
nein: [mm] $f(x):=\sin(1/x)$ [/mm] für $x > [mm] 0\,,$ [/mm] siehe andere Antwort.
Das "Problem" ist "das Zusammenstauchen nahe der Null, ohne, dass die
"maximale Schwankungen zwischen den Funktionswerten dabei 'mitgestaucht
werden'". Plotte Dir mal die Funktion, dann wird vielleicht deutlicher, was ich
hier meine!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen lieben Dank für deine Erklärung.
Die von dir angegebene Funktion stellt ein gutes Gegenbeispiel meiner Behauptung dar - diese Funktion ist mir leider nicht in den Sinn gekommen.
Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen lieben Dank für deine Erklärung.
>
> Die von dir angegebene Funktion stellt ein gutes
> Gegenbeispiel meiner Behauptung dar - diese Funktion ist
> mir leider nicht in den Sinn gekommen.
das macht nix - Du kannst natürlich auch [mm] $\cos(1/x)$ [/mm] auf $x > [mm] 0\,$ [/mm] betrachten.
An solche Funktionen denkt man halt, wenn man sich klarmachen will, dass
es (stetige) Funktionen gibt, die aber an einer Stelle nicht diff'bar sind:
$$x [mm] \mapsto f(x):=x*\sin(1/x) \text{ für }x \not=0 \text{ und }f(0):=0$$
[/mm]
ist diff'bar auf [mm] $\IR \setminus \{0\}\,,$ [/mm] und stetig auf [mm] $\IR\,,$ [/mm] aber nicht diff'bar in [mm] $x_0=0\,.$
[/mm]
Du siehst: Hier kommt die andere erwähnte Funktion auch als Faktor drin
vor!
Gruß,
Marcel
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"An solche Funktionen denkt man halt, wenn man sich klarmachen will, dass
es (stetige) Funktionen gibt, die aber an einer Stelle nicht diff'bar sind"
in solchen Fällen denke ich eher an die Betragsfunktion :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
> "An solche Funktionen denkt man halt, wenn man sich
> klarmachen will, dass
> es (stetige) Funktionen gibt, die aber an einer Stelle
> nicht diff'bar sind"
>
> in solchen Fällen denke ich eher an die Betragsfunktion :D
Haha, da hast Du Recht. Vielleicht hätte ich die Unbeschränktheit der
Ableitung mitfordern sollen (und schon sind wir bei der Aufgabe) ^^
Einfach mal in den Raum geworfen: Interessant ist auch der Begriff
"beschränkte Variation"...
Egal: Dann nehmen wir mal
[mm] $f(x):=x^2*\sin(1/x)$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $f(0):=0\,.$
[/mm]
Diese ist differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar. Da kenne ich keine
wesentlich einfachere Funktion für, die diese Eigenschaft hat!
Gruß,
Marcel
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