Beschränkte Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:21 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Sultan |
HI LEUTE
ich hab eine frage bei den ich nicht weiter komme
hoffe ihr könnt mir helfen
Sei S eine nicht lehre Menge.Bezeichne B(S) den Vektorraum der beschränkten Funktionen auf S versehen mit der Supremumsnorm. Zeigen Sie : Die Teilmenge
{ f [mm] \in [/mm] B(S) | [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_ \infty [/mm] =1}
ist immer abgeschlossen und beschränkt, aber gebau dann kompakt, wenn S endlich ist.
ich habe da eine überlegung aber weiss nicht ob es stimmt muss ich den Satz von Heine Borel oder Bolzano Weierstraß anwenden wenn ja wie geht es génauer wie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Domi81 |
Hallo zusammen!
Ich tüftel auch an dieser ekeligén Aufgabe. Ich frage mich´, was es auf sich hat, dass s endlich sein muss, damit es kompakt ist. es ist immer beschränkt und abgeschlossen. Folgt daraus nicht, dass es kompakt ist?
Man muss sich wohl das Supremum angucken, das 1 ist.
vielleicht ob das supremum zur menge dazu gehört oder nicht.
Ich habe aber auch nicht so recht die idee...
vielleicht kann uns ja jemand helfen. das wäre ein traum. also ran an die tasten und raus mit den ideen...
gruß domi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Sa 30.04.2005 | | Autor: | SEcki |
> Sei S eine nicht lehre Menge.Bezeichne B(S) den Vektorraum
> der beschränkten Funktionen auf S versehen mit der
> Supremumsnorm.
Und der Topologie durch diese dann erzeugt oder wie? Also ein offener [mm]\varepsilon [/mm]-Ball um einen Funktion, sind all diejenigen Funktionen, deren Differenz bzgl der Supremumsnorm kleienr als Epsilon sind, oder?
> Zeigen Sie : Die Teilmenge
> [mm]\{ f \in B(S) | \parallel f \parallel_ \infty =1\}[/mm]
> ist immer abgeschlossen und beschränkt, aber gebau dann
> kompakt, wenn S endlich ist.
Kommt drauf an welches kompakt du nehmen kannst - für Folgenkompaktheit kann man bei unendlichen Mnegen ja mit Kronecker Delta ein Gegenbeispiel angeben, vielleicht geht das dann auch für Überdeckungskompakt. (bei endlichen geht das natürlich trivialer weise ...)
> ich habe da eine überlegung aber weiss nicht ob es stimmt
> muss ich den Satz von Heine Borel oder Bolzano Weierstraß
> anwenden wenn ja wie geht es génauer wie
Schreib doch mal deine Überlegung hierein.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Domi81 |
Schreib doch einfach mal, was Du mit Kompaktheit für Folgen bzw. mit Überdeckungskompaktheit meinst? Was ich nicht verstehe ist, warum S endlich sein muss, damit die Teilmenge {f element B(S)| ||f|| } kompakt ist. Allerdings ist die Teilmenge immer abgeschlossen und beschränkt...
Nach Heinel-Borel gilt doch, dass eine Teilmenge kompakt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist oder?
Ich kann mir die ganze Geschichte auch nicht so recht vorstellen.
Bis Montag muss ich diese und drei weitere Aufgaben ageben. Wär super, wenn ich so schnell wie möglich einen Tipp bekomme.
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Hallo,
Heine-Borel gilt nur für Teilmengen des [mm] $\IR^n$.
[/mm]
- Marcel
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Wenn S endlich ist, dann ist B(S) auch endlichdimensional und die Behauptung folgt mit Bolzano-Weierstrass.
Ist S nicht endlich, dann ist B(S) nicht endlichdimensional und die Einheitskugel in unendlichdimensionalen normierten Räumen ist nicht kompakt (im Spezialfall deiner Aufgabe ist das natürlich noch zu zeigen).
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