Beschränkte Schwankung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:33 Sa 21.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist die Funktion f:[0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x\mbox{ =0} \\
x^{\alpha}*\sin(1/x), & \mbox{wenn }x\mbox{ aus (0,1]}
\end{matrix}\right.
[/mm]
von beschränkter Schwankung?
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Ich habe die Formel [mm] l({\cal Z};f) [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^n \Vert f(x_k) [/mm] - [mm] f(x_{k-1})\Vert [/mm] gefunden, weiß aber nicht, ob ich diese verwenden kann und wenn ja wie. Kann mir bitte einer weiterhelfen?
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> Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] ist die Funktion f:[0,1]
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x\mbox{ =0} \\
x^{\alpha}*\sin(1/x), & \mbox{wenn }x\mbox{ aus (0,1]}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> von beschränkter Schwankung?
>
> Ich habe die Formel [mm]l({\cal Z};f) := \sum_{k=1}^n \Vert f(x_k) - f(x_{k-1})\Vert[/mm] gefunden, weiß aber nicht, ob ich diese
> verwenden kann
kannst Du (musst Du vermutlich sogar)
> und wenn ja wie. Kann mir bitte einer weiterhelfen?
Betrachte aufeinanderfolgende Lösungen der Gleichung [mm] $|\sin(1/x)|=1$, [/mm] also [mm] $x_k [/mm] := [mm] \frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi}$, $k\in \IN$. [/mm] Damit scheint die Frage nach der beschränkten Schwankung von $f$ in Abhängigkeit von [mm] $\alpha$ [/mm] auf die Konvergenz von [mm] $\sum_k \frac{1}{k^\alpha}$ [/mm] reduzierbar zu sein. Diese Reihen konvergieren bekanntlich genau dann, wenn [mm] $\alpha [/mm] >1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 21.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine schnelle Antwort.
Ich habe deine Folge eingesetzt und komme zu:
[mm] \sum_{k=1}^{N} \Vert \left( \bruch{1}{k\pi+\pi/2} \right)^{\alpha}*sin(k\pi+\pi/2)- \left( \bruch{1}{(k-1)\pi+\pi/2} \right)^{\alpha}*sin((k-1)\pi+\pi/2) \Vert=\sum_{k=1}^{N} \Vert \left( \bruch{1}{k\pi+\pi/2} \right)^{\alpha}- \left( \bruch{1}{(k-1)\pi+\pi/2} \right)^{\alpha} \Vert, [/mm] da der Sinus hier immer 1 ist. Und wie weiter?
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> Danke für deine schnelle Antwort.
> Ich habe deine Folge eingesetzt und komme zu:
> [mm]\sum_{k=1}^{N} \Vert \left( \bruch{1}{k\pi+\pi/2} \right)^{\alpha}*sin(k\pi+\pi/2)- \left( \bruch{1}{(k-1)\pi+\pi/2} \right)^{\alpha}*sin((k-1)\pi+\pi/2) \Vert=\sum_{k=1}^{N} \Vert \left( \bruch{1}{k\pi+\pi/2} \right)^{\alpha}- \left( \bruch{1}{(k-1)\pi+\pi/2} \right)^{\alpha} \Vert,[/mm]
> da der Sinus hier immer 1 ist.
Nein, nicht ganz, der [mm] $|\sin(x_k)|$ [/mm] ist immer $1$, aber aufeinanderfolgende [mm] $\sin(x_k)$, $\sin(x_{k-1})$ [/mm] haben jeweils entgegengesetztes Vorzeichen. Deshalb erhält man, meiner unmassgeblichen Meinung nach, richtiger,
[mm]\sum_{k=1}^N |f(x_k)-f(x_{k-1})| = \sum_{k=1}^N\left|\;\left(\frac{1}{k\pi+\pi/2}\right)^\alpha+\left(\frac{1}{(k-1)\pi+\pi/2}\right)^\alpha\,\right|=\sum_{k=1}^N\left(\frac{1}{k\pi +\pi/2}\right)^\alpha +\sum_{k=1}^N\left(\frac{1}{(k-1)\pi+\pi/2}\right)^\alpha[/mm]
Bem: Ich habe hier nur die Variation $y$-Koordinaten der Punkte auf der Kurve summiert, weil (bekanntlich) eine vektorwertige Funktion genau dann von beschränkter Variation ist, wenn die Koordinatenfunktionen von beschränkter Variation sind. In der $x$-Richtung ist die Variation natürlich beschränkt, weil das Intervall $[0;1]$ beschränkt ist, so dass sich die Summen der Abstände aufeinanderfolgender [mm] $x_k$ [/mm] durch $1$ beschränken lassen.
> Und wie weiter?
Für [mm] $N\rightarrow \infty$ [/mm] gehen die beiden Summen ganz rechts im Falle [mm] $\alpha\leq [/mm] 1$ jedenfalls gegen [mm] $+\infty$. [/mm] Damit wäre zunächst nur gezeigt, dass für [mm] $\alpha\leq [/mm] 1$ keine beschränkte Variation vorliegt. Da wir mit den [mm] $x_k$ [/mm] aber gerade die $x$-Koordinaten aufeinanderfolgender Extrema gewählt haben und die Funktion zwischen diesen Extrema streng monoton wachsend oder fallend ist, ist dies sogar eine Abschätzung der Variation "von oben", so dass man aus der Konvergenz der beiden Reihen für [mm] $\alpha>1$ [/mm] auch auf beschränkte Variation für beliebige Wahl der [mm] $x_k$ [/mm] und damit Beschränktheit der totalen Variation insgesamt schliessen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:09 So 22.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ein ganz großes Dankeschön an dich! Du hast mir sehr geholfen!
Ich komme gerade von einem Rockkonzert und konnte leider nicht schneller reagieren.
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