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Beschraenktes Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 Mi 10.12.2003
Autor: Hans

Hi Leute!
Hab mal wieder eine knackige Aufgabe an der ich und meine Kommilitonen nicht weiter kommen, wenn einer von euch mal einen Blick drauf werfen koennte, waer klasse!!!

Also Sei I Teilmenge von R ein Intervall. f: I --> R eine Abbildung derart, dass es zu jedem x aus I ein epsilon > 0 gibt, so dass f (I geschnitten B(x,epsilon)) eine beschraenkte Menge ist.

B(x, epsilon) ist offene kugel um x mit radius epsilon.

zeige: Ist I = [a,b] so ist  f(I)  beschraenkt.
Ist I = ]a,b[ so ist f (I) im allgemeinen nicht beschraenkt.

Tipp: Satz von Bolzano Weierstraß.

bin mal gespannt, was ihr dazu zu sagen habt.

gruss Hans

        
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Beschraenktes Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:56 Mi 10.12.2003
Autor: Hans

Ich vermute, dass diese Aufgbabe eine Art Trittbrett zur Definition von auf einem Intervall stetigen Funktionen sein soll, aber ich habe mich bisher ziemlich im Kreis gedreht...nur so als Denkansatz.
gruss hans

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Beschraenktes Intervall: (korrigiert)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:14 Do 11.12.2003
Autor: puq

Mein korrigierter Lösungsversuch:


Sei [mm]I=[a,b][/mm]. Sei [mm]f(I)[/mm] nicht beschränkt.

Dann existiert eine Folge [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]a_{n}\in\ I[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm], so dass [mm]| f(a_{n+1}) | \ge | 2 f(a_{n}) |[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm].
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass hat [mm](a_{n})[/mm] als beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge [mm](b_{n})[/mm].
Da I abgeschlossen ist, und alle [mm]b_{n}[/mm] in [mm]I[/mm] liegen, liegt auch [mm]b := \lim_{n \to \infty}b_n[/mm] in [mm]I[/mm].

Nach Voraussetzung existiert ein [mm]\epsilon >0[/mm], so dass [mm]f(I\cap B(b,\epsilon))[/mm] beschränkt ist.
[mm](b_{n})[/mm] hat den Grenzwert [mm]b[/mm], also gibt es zu diesem [mm]\epsilon[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm], so dass für alle [mm]n>N[/mm] gilt [mm]b_{n} \in I\cap B(b,\epsilon)[/mm].
Nach Konstruktion von [mm](a_{n})[/mm] gilt aber insbesondere [mm]| f(b_{n+1}) | \ge | 2 f(b_{n}) |[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]n>N[/mm], also dass [mm]f(I\cap B(b,\epsilon))[/mm] unbeschränkt ist. Widerspruch.

Also ist [mm]f(I)[/mm] beschränkt.


Für den zweiten Teil schaue dir vielleicht [mm]I=(0,1)[/mm] und [mm]f(x) := 1/x[/mm] an.



Nachricht bearbeitet (Do 11.12.03 12:22)

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Beschraenktes Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Do 11.12.2003
Autor: Stefan

Hallo puq,

vielen herzlichen Dank für deine wirklich sehr schön aufgeschriebene Lösung. Hans wird sich darüber freuen.

Nun eine klitzekleine Anmerkung: Du solltest in deinem Beweis eine kleine Änderung vornehmen:

> Dann existiert eine Folge [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]a_{n}\in\ I[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm], so dass
> [mm]f(a_{n+1}) \ge 2 f(a_{n})[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm].

Hier solltest du die Beträge nehmen, also folgendes schreiben (ich erkläre dir gleich, warum):

Dann existiert eine Folge [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]a_{n}\in\ I[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm], so dass [mm]|f(a_{n+1})| \ge 2 |f(a_{n})|[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm].

Das Gleiche noch einmal. Statt

> Nach Konstruktion von [mm](a_{n})[/mm] gilt aber insbesondere
> [mm]f(b_{n+1}) \ge 2 f(b_{n})[/mm] für alle
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]n>N[/mm], also dass [mm]f(I\cap > B(b,\epsilon))[/mm] unbeschränkt ist. Widerspruch.

lieber das hier:

Nach Konstruktion von [mm](a_{n})[/mm] gilt aber insbesondere
[mm]|f(b_{n+1})| \ge 2| f(b_{n})|[/mm] für alle
[mm]n\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]n>N[/mm], also dass [mm]f(I\cap B(b,\epsilon))[/mm] unbeschränkt ist. Widerspruch.

Sonst bekommst du Probleme, wenn [mm]f[/mm] auch negative Werte annimmt. Schau dir mal die Funktion [mm]f(x)=-1[/mm] an, also die Funktion, die konstant gleich -1 ist. Dann gilt immer (für jede Folge [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm]):

[mm]f(b_{n+1}) = - 1 \ge -2 = 2f(b_n)[/mm],

aber dennoch ist [mm]f[/mm] als konstante Funktion beschränkt.

Vielleicht kannst du das in deinem Beitrag ja noch verbessern.

Der Rest ist richtig und super aufgeschrieben! :-)

Alles Gute  
Stefan


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Beschraenktes Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Do 11.12.2003
Autor: puq

Hallo Stefan,

ja natürlich, völlig klar, wie peinlich... ;-(
Ich habe die Antwort korrigiert.

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Beschraenktes Intervall: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:38 Do 11.12.2003
Autor: Stefan

Hallo puq!

Quatsch, das kann doch passieren. Mir war eh klar, dass es ein Flüchtigkeitsfehler war. Ich finde es auf jeden Fall klasse, dass du hier mitgeholfen hast.

(P.S. Wir suchen übrigens noch Tutoren. ;-) Hast du Lust?)

Alles Gute
Stefan


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Beschraenktes Intervall: (korrigiert)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Do 11.12.2003
Autor: Hans

hi puq (und auch stefan), erstmal herzlichen dank.
hab noch ne kurze rueckfrage:

1. warum muss betrag von f von a n+1 groesser als 2 mal betrag f von  a n sein? und woher weiss ich, dass es insb. fuer bn gilt?

ansonsten...wirklich schoene loesung.
gruss hans

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Beschraenktes Intervall: (korrigiert)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Do 11.12.2003
Autor: Marc

Hallo Hans,

es wurde ja angenommen, dass die Menge [mm]f(I)[/mm] unbeschränkt ist, d.h. für eine beliebig vorgegebene Zahl [mm]K[/mm] finden sich in dieser Menge Zahlen, deren Betrag größer als [mm]K[/mm] sind (falls es keine weitere solche Zahlen gäbe, dann wäre [mm] K [/mm] ja eine Schranke und [mm]f(I)[/mm] beschränkt).

puq hat nun eine Folge in der Menge [mm]f(I)[/mm] konstruiert, indem das Folgenglied [mm]|f(a_{n+1})|[/mm] jedes Mal die "Hürde" [mm] |2*f(a_n)| [/mm] überspringen muß. Solche Zahlen gibt es immer, da sonst die Menge beschränkt wäre.

[mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] ist ja eine Teilfolge von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm], und als solche fehlen ihr ja so zu sagen ein paar Folgenglieder von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]. Die übrigen Folgeglieder erfüllen dann aber doch erst recht die Bedingung, da die Abstände zwischen den Beträgen zweier benachbarter Folgenglieder doch größer werden, wenn man dazwischenliegende Folgenglieder entfernt; Beispiel:

Es gelte
[mm] a_1 \ge 2a_0[/mm]
[mm] a_2 \ge 2a_1[/mm]
[mm] a_3 \ge 2a_2[/mm]
...

und ich bilde eine Teilfolge, in der z.B. [mm] a_2 [/mm] weggelassen wird:

[mm] b_0 := a_0 [/mm]
[mm] b_1 := a_1 [/mm]
[mm] b_2 := a_3 [/mm]
[mm] b_3 := a_4 [/mm]
...

Jetzt gilt doch offenbar
[mm] b_1 \ge 2b_0[/mm] (klar)
[mm] b_2 \ge 2b_1[/mm] (weil [mm] b_2=a_3 \ge 2a_2 \ge 2*2a_1=4b_1[/mm])
[mm] b_3 \ge 2b_2[/mm] (klar)

Ich hoffe, das ist dadurch etwas klarer geworden.

Alles Gute,
Marc.


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