Beschränktes Wachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mi 17.12.2008 | | Autor: | iAmL |
| Aufgabe | Lösen sie diese DGL:
f'(t) = k * (S - f(t) )
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hi,
ich habe ein kleines problem.
Ich soll eine GFS über das beschränkte Wachstum halten und komme nicht vorran.
Soviel versteh ich:
Die Wachstumsgeschwindigkeit f'(t) wird immer kleiner , je mehr sich der momentane Bestand f(t) der Sättigungsgrenze S nähert. |S - f(t)| ~ f'(t)
daraus folgt dann die DGL f'(t) = k * (S - f(t) )
da frage ich mich dann schon woher das " k " kommt, meiner meinung nach ist das die proportionalitätskonstante. Aber ist das auch gleichzeitig die Wachstumskonstante, da es sich ja um eine DGL des beschr.Wachstums handelt?
naja, dann heißt es in meinen unterlagen , dass man nun eine neue Funktion g(t) = S - f (t) nimmt und ihre ableitung g'(t) = - f'(t) .
Man setzt nun in die DGL des beschr. Wachstums ein ... usw.
aber wie kann man einfach g(t) = S - f(t) bestimmen ? ich versteh nicht wie man einfach so eine neue Funktion herbekommen kann.
und dann kommt mein größtes problem...
durch das einsetzten erhählt man die DGL des expo. Wachstums :
g'(t) = -k * g(t)
ich zitiere nun aus meinen unterlagen: " es ist dann g(t) = c*e^-kt
wie man dann auf f(t) = S - c * e^ -kt kommt verstehe ich wieder.
aber wie kommt man denn bitte auf g(t) = c*e^-kt . durch ein integral?
ich hoffe ihr könnt mir ein wenig helfen ;P
mit freundlichen grüßen,
"L"
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
> daraus folgt dann die DGL f'(t) = k * (S - f(t) )
> da frage ich mich dann schon woher das " k " kommt, meiner
Auf die gleiche Art, wie man auf die allgemeine Geradengleichung ax+b oder ähnliches kommt. Du steckst einfach überall Konstanten rein, wo es sinnvoll erscheint. Hier hat jemand festgestellt, daß das Wachstum linear vom Abstand von der Sättigungsgrenze abhängt, also nimmt man den Abstand mal einer Konstante, die angibt, wie schnell man sich der Grenze nähert.
[mm] $(S-f(t))^l$ [/mm] wäre auch eine Möglichkeit, falls der Zuwachs exponentiell vom Abstand von der Grenze abhängen würde.
$k*(S-f(t))+l$, also noch eine additive Konstante ergibt hier hingegen keinen Sinn, weil das einfach nur eine Verschiebung der Sättigungsgrenze zur Folge hätte:
[mm] $k*(S-f(t))+l=k*(S+kl-f(t))=k*(S_2-f(t))$
[/mm]
d.h. wir hätten einfach eine andere Grenze, die ich [mm] $S_2$ [/mm] genannt habe.
> naja, dann heißt es in meinen unterlagen , dass man nun
> eine neue Funktion g(t) = S - f (t) nimmt und ihre
> ableitung g'(t) = - f'(t) .
> Man setzt nun in die DGL des beschr. Wachstums ein ...
> usw.
>
> aber wie kann man einfach g(t) = S - f(t) bestimmen ? ich
> versteh nicht wie man einfach so eine neue Funktion
> herbekommen kann.
Man definiert sie.
$g(t):=S-f(t)$
Wo ist denn die erste Funktion hergekommen?
Es ist ja nicht so, als ob die Bibel einen Anhang hätte mit allen Funktionen, die man verwenden dürfte.
Wieso ist denn S die Sättigungsgrenze? Weil man's definiert hat.
Wieso ist f die Funktion der Anzahl von was auch immer? Weil irgendwer gesagt hat: "die Anzahl von was auch immer hängt von der Zeit ab, nennen wir's einfach mal f(t)".
Hier hat jemand gesagt: "S-die Anzahl von was-auch-immer-f-war nennen wir g. S ist konstant, f hängt von t ab, also hängt auch g von t ab."
> und dann kommt mein größtes problem...
>
> durch das einsetzten erhählt man die DGL des expo.
> Wachstums :
> $g'(t) = -k * g(t)$
>
> ich zitiere nun aus meinen unterlagen: " es ist dann $g(t) = [mm] c*e^{-kt}$
[/mm]
> wie man dann auf $f(t) = S - c * [mm] e^{-kt}$ [/mm] kommt verstehe
> ich wieder.
$g(t)=S-f(t)\ [mm] \Leftrightarrow\ [/mm] f(t)=S-g(t)$
Gleichungen, 5. Klasse =)
>
> aber wie kommt man denn bitte auf g(t) = c*e^-kt .
> durch ein integral?
Grundsätzliche Lösungstheorie für DGLs.
Wir wollen $h'(t)=m*h(t)$, m ist eine uns bekannte Konstante,
d.h. die Ableitung von h ist die Funktion selber mal einer Konstanten.
Die Exponentialfunktion erfüllt das:
Ansatz mit allgemeinen Konstanten a und b: [mm] $h(t):=a*e^{bt}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow h'(t)=a*b*e^{bt}=b*\left(a*e^{bt}\right)=b*h(t)$
[/mm]
also muß b=m sein und a ist hier beliebig
[mm] $h(t)=a*e^{mt}$
[/mm]
egal wie wir a wählen (natürlich [mm] $a\neq [/mm] 0$, a=0 wäre Schwachsinn), h erfüllt immer die DGL von oben.
(a wird aber häufig festgelegt, weil uns noch ein Anfangswert gegeben ist, also z.B. h(0)=1
damit wäre hier: [mm] $h(0)=a*e^0=a$, [/mm] also muß a=1 gelten)
$g'(t)=-k*g(t)$
Ansatz:
[mm] $g(t):=a*e^{bt}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] g'(t)=b*g(t)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] b=-k$
[mm] $\Rightarrow g(t)=a*e^{-kt}$
[/mm]
Nur hat Dein Text oben die eine Konstante c statt a genannt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 17.12.2008 | | Autor: | iAmL |
erstma super vielen dank ;P damit hast du mir wirklich geholfen, hat zwar lange gebraucht bis ich es verstanden hab aber jetzt versteh ichs^^
aber:
>
> [mm]g'(t)=-k*g(t)[/mm]
>
> Ansatz:
> [mm]g(t):=a*e^{bt}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow g'(t)=b*g(t)[/mm]
> [mm]\Rightarrow b=-k[/mm]
> [mm]\Rightarrow g(t)=a*e^{-kt}[/mm]
>
> Nur hat Dein Text oben die eine Konstante c statt a
> genannt.
vielleicht ist diese frage unberechtigt, aber für was genau steht denn die konstante c ( bzw a ) ,
sie ist ja c = S - f(0) definiert, das heißt die Grenze minus den Anfangsbestand, also ist c der platz der noch übrig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
Die Konstante heißt, daß es eine ganze Reihe von Funktionen gibt, die die Bedingung
$g'(t)=-k*g(t)$
erfüllen.
Wie schon in dem Beispiel mit h, hast Du noch eine zusätzliche Bedingung (nämlich, daß f(0) ein fester Wert ist, der vorgegeben wird), die erfüllt werden muß
g(t)=S-f(t), also ist auch
g(0)=S-f(0)
gegeben.
und damit wird dann c festgelegt:
[mm] $g(t)=c*e^{-kt}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow g(0)=ce^0=c$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] c=S-f(0)$
und es gibt nur noch eine Lösung.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 17.12.2008 | | Autor: | iAmL |
ja gut, aber wie würde man c anhand eines beispiels definieren, also was ist mit c gemeint. ist damit denn der betrag gemeint, der noch frei ist?
oder liege ich damit völlig falsch, und c ist etwas total anderes.
f(t) = S - c * e^-kt
f(t) ist der bestand zu einem best. zeitpunkt,
S ist die Grenze
k ist die wachstumskonstante
t ist ein bestimmter zeitpunkt
c = ???? der anfangsbestand?? der restbestand?
also was soll c ausdrücken..?
mit freundlichen grüßen
"L"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz t=0 ein, dann weisst du, was c bedeutet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 17.12.2008 | | Autor: | iAmL |
okay
f(t) = S - c * e ^-kt
t = 0
f(0) = S - c * e ^-k0
f(0) = S - c * e ^0
f(0) = S - c * 1
c = S - f(0)
S = Grenze f(0) = Anfangsbestand, also ist c der bestand der noch aufgefüllt werden kann, also wenn S = 100 und f(0) = 25
dann wäre c = 75 also der betrag der zum erreichen der grenze benötigt wird
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig!
gruss leduart
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