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| Aufgabe | In einem Land mit ca. 6,0 Mio Haushalten gab es zu Beginn des Jahres 2004 etwa 3,0 Mio Haushalte mit DVD-Player.
Die Entwicklung in Anzahlen (in Mio) seit dem Jahr 2000 kann modellhaft durch eine Funktion g dargestellt werden, die für [mm] x\ge0 [/mm] der Differentialgleichung
g'(x)= 0,2*(5,2-g(x)) genügt.
Dabei ist x die Anzahl der seit Beginn des Jahres 2000 vergangenen Jahre.
a)
a.1) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Funktion g.
Mit welcher Anzahl von Haushalten mit DVD-Playern ist langfristig zu rechnen?
a.2) Zu welchem Zeitpunkt stand in 70% der Haushalte des Landes ein DVD-Player?
a.3) Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Haushalten mit DVD-Player von Anfang 2000 bis zu diesem Zeitpunkt.
a.4) Wann lag die Änderungsrate der Anzahlen erstmals unter 0,6 Mio pro Jahr?
b)
b.1) Welche Größe wird durch g'(4) beschrieben?
b.2) Erläutern Sie, wie man nur mit Hilfe von g'(4) und g(4) einen Näherungswert für g(4,5) berechnen kann.
b.3) Bestimmen Sie diesen Näherungswert. Begründen Sie, warum dieser größer als g(4,5) ist.
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Hallo!
Hier habe ich eine Aufgabe zum bechränkten Wachstum.
a) habe ich gerechnet. Stimmt auch alles?
Bei b) dagegen komme ich nicht weiter. Würde mich freuen, wenn mir dort jemand helfen könnte!
Hier jedenfalls meine bisherigen Rechnung:
a.1)
g(x)= [mm] S-c*e^{-kt}
[/mm]
g(x)= [mm] 5,2-(5,2-a)*e^{-0,2x}
[/mm]
f(4)= 3
[mm] 5,2-(5,2-a)*e^{-0,8}=3
[/mm]
mit GTR: [mm] a\approx [/mm] 0,3
somit: c=S-a= 4,9
g(x)= [mm] 5,2-4,9*e^{-0,2x}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}g(x)= [/mm] 5,2
A: Langfristig ist mit 5,2Mio Haushalten mit DVD-Player zu rechnen.
a.2)
70% von 6Mio --> 4,2
[mm] 5,2-4,9*e^{-0,2x}= [/mm] 42
mit GTR:
[mm] x\approx [/mm] 7,9
A: Im Jahr 2007 (genauer: etwa 7 Jahre und 11 Monate nach 2000) standen in 70% der Haushalte DVD-Player.
a.3)
[mm] \bruch{1}{10}\integral_{0}^{10}{g(x) dx} \approx [/mm] 3,1 (mit GTR)
A: Die mittlere Anzahl von Haushalten mit Player zwischen den Jahren 2000 und 2010 beläuft sich auf etwa 3,1 Mio.
a.4)
g'(x)= -4,9* [mm] (-0,2)*e^{-0,2x}= 0,98*e^{-0,2x}
[/mm]
Mit GTR:
S(2,5|0,6)
A: Nach etwa 2 Jahren und 6 Monaten lag die Änderungsrate erstmals unter 0,6 Mio pro Jahr.
So. Das war's zur Teilaufgabe a).
Stimmt das soweit, was ich fabriziert habe?
Nun zu b):
b.1) Welche Größe wird durch g'(4) beschrieben?
g'(4) beschreibt das Wachstum der Anzahl von haushalten mit Playern im Jahr 2004.
Richtig?
Was die Frage mit dem Näherungswert für g(4,5) anbelangt, weiß ich nicht, was gemeint ist bzw. wie ich das dann genau berechnen kann.
Wer kann mir helfen?
Ich würde mich sehr über Korrektur+Hilfe freuen!!
LG Eli
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Hallo Elisabeth17,
> In einem Land mit ca. 6,0 Mio Haushalten gab es zu Beginn
> des Jahres 2004 etwa 3,0 Mio Haushalte mit DVD-Player.
> Die Entwicklung in Anzahlen (in Mio) seit dem Jahr 2000
> kann modellhaft durch eine Funktion g dargestellt werden,
> die für [mm]x\ge0[/mm] der Differentialgleichung
> g'(x)= 0,2*(5,2-g(x)) genügt.
> Dabei ist x die Anzahl der seit Beginn des Jahres 2000
> vergangenen Jahre.
>
> a)
> a.1) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Funktion g.
> Mit welcher Anzahl von Haushalten mit DVD-Playern ist
> langfristig zu rechnen?
>
> a.2) Zu welchem Zeitpunkt stand in 70% der Haushalte des
> Landes ein DVD-Player?
>
> a.3) Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Haushalten mit
> DVD-Player von Anfang 2000 bis zu diesem Zeitpunkt.
>
> a.4) Wann lag die Änderungsrate der Anzahlen erstmals
> unter 0,6 Mio pro Jahr?
>
>
> b)
> b.1) Welche Größe wird durch g'(4) beschrieben?
> b.2) Erläutern Sie, wie man nur mit Hilfe von g'(4) und
> g(4) einen Näherungswert für g(4,5) berechnen kann.
> b.3) Bestimmen Sie diesen Näherungswert. Begründen Sie,
> warum dieser größer als g(4,5) ist.
>
> Hallo!
>
> Hier habe ich eine Aufgabe zum bechränkten Wachstum.
> a) habe ich gerechnet. Stimmt auch alles?
> Bei b) dagegen komme ich nicht weiter. Würde mich freuen,
> wenn mir dort jemand helfen könnte!
>
> Hier jedenfalls meine bisherigen Rechnung:
> a.1)
>
> g(x)= [mm]S-c*e^{-kt}[/mm]
> g(x)= [mm]5,2-(5,2-a)*e^{-0,2x}[/mm]
>
> f(4)= 3
> [mm]5,2-(5,2-a)*e^{-0,8}=3[/mm]
>
> mit GTR: [mm]a\approx[/mm] 0,3
>
> somit: c=S-a= 4,9
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> g(x)= [mm]5,2-4,9*e^{-0,2x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}g(x)=[/mm] 5,2
> A: Langfristig ist mit 5,2Mio Haushalten mit DVD-Player zu
> rechnen.
>
> a.2)
> 70% von 6Mio --> 4,2
>
> [mm]5,2-4,9*e^{-0,2x}=[/mm] 42
> mit GTR:
> [mm]x\approx[/mm] 7,9
> A: Im Jahr 2007 (genauer: etwa 7 Jahre und 11 Monate nach
> 2000) standen in 70% der Haushalte DVD-Player.
>
> a.3)
> [mm]\bruch{1}{10}\integral_{0}^{10}{g(x) dx} \approx[/mm] 3,1 (mit
> GTR)
> A: Die mittlere Anzahl von Haushalten mit Player zwischen
> den Jahren 2000 und 2010 beläuft sich auf etwa 3,1 Mio.
Hier muss doch berechnet werden:
[mm]\bruch{1}{7.9}\integral_{0}^{7.9}{g(x) dx}[/mm]
>
> a.4)
> g'(x)= -4,9* [mm](-0,2)*e^{-0,2x}= 0,98*e^{-0,2x}[/mm]
> Mit GTR:
> S(2,5|0,6)
> A: Nach etwa 2 Jahren und 6 Monaten lag die Änderungsrate
> erstmals unter 0,6 Mio pro Jahr.
>
> So. Das war's zur Teilaufgabe a).
> Stimmt das soweit, was ich fabriziert habe?
Die Ergebnisse stimmen, wenn auf eine Dezimale
nach dem Komma gerundet wird.
>
> Nun zu b):
> b.1) Welche Größe wird durch g'(4) beschrieben?
> g'(4) beschreibt das Wachstum der Anzahl von haushalten
> mit Playern im Jahr 2004.
> Richtig?
>
> Was die Frage mit dem Näherungswert für g(4,5) anbelangt,
> weiß ich nicht, was gemeint ist bzw. wie ich das dann
> genau berechnen kann.
> Wer kann mir helfen?
Das Stichwort hier lautet "Tangente".
>
> Ich würde mich sehr über Korrektur+Hilfe freuen!!
>
> LG Eli
Gruss
MathePower
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