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Beschränktheit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Di 25.07.2017
Autor: sae0693

Aufgabe
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Beschränktheit nach oben, Beschränktheit nach unten und nach Beschränktheit.

a) ...
b) ...
c) [mm] c_{n}=\bruch{n^{2}}{n-0,5} [/mm]
d) ...
e) ...

[mm] c_{n}=\bruch{n^{2}}{n-0,5} [/mm]

Mein Ansatz wäre folgender:

n [mm] \in \IN. [/mm] Demnach n [mm] \ge [/mm] 1.

[mm] c_{1} [/mm] = 2;
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3} [/mm]
[mm] c_{3} [/mm] = [mm] \bruch{18}{5} [/mm]
...

[mm] c_{1} [/mm] < [mm] c_{2} [/mm] < [mm] c_{3} [/mm] < ...
-> Das kleinstmögliche Folgenglied ist demnach [mm] c_{1}. [/mm]
[mm] c_{1} [/mm] = 2; demnach ist [mm] c_{n} [/mm] nach unten durch 2 beschränkt.
In der Lösung steht hier, dass die Folge durch 0 beschränkt ist, was ich nicht ganz nachvollziehen kann..


Beschränktheit nach oben:

[mm] c_{n}=\bruch{n^{2}}{n-0,5} [/mm]

n wird im Zähler quadriert, im Nenner nicht. Daher steigt der Zähler um ein vielfaches schneller an. -> Nach oben unbeschränkt.

Da nach oben unbeschränkt, nicht beschränkt.



        
Bezug
Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Di 25.07.2017
Autor: X3nion

Hallo sae0693!

Nun eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] heißt definitionsgemäß nach unten beschränkt genau dann, wenn es eine Konstante K [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass

[mm] a_{n} \ge [/mm] K für alle n.

Im Folgenden meine ich mit n [mm] \in \IN [/mm] die natürlichen Zahlen ohne die "0", also n = 1, 2, 3, ...

Nun, da anscheinend [mm] a_{n} \ge [/mm] 2 für alle n [mm] \in \IN, [/mm]  so gilt erst recht [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 für alle n und K = 0 leistet somit das Gewünschte.

Natürlich ist es bis dato nur eine Vermutung, dass [mm] a_{n} \ge [/mm] 2 für alle n [mm] \in \IN [/mm] ;-) Dies gilt es zu beweisen, bzw. die einfachere, da besser abschätzbare Ungleichung [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Es ist also für die untere Beschränktheit zu zeigen, dass [mm] \frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN. [/mm]
Bekommst du das hin?


Zur oberen Beschränktheit: Es ist [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \frac{n}{1-\frac{1}{2n}} [/mm]

Nun ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} [/mm] =  [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{1-\frac{1}{2n}} [/mm] = [mm] \frac{\lim_{n\rightarrow\infty} n}{\lim_{n\rightarrow\infty}1-\frac{1}{2n}} [/mm] = [mm] \frac{\lim_{n\rightarrow\infty} n}{1} [/mm] = [mm] \infty [/mm]

Hierbei habe ich die Grenzwertsätze und die Erweiterung mit [mm] \frac{1}{n} [/mm] genutzt.

Wegen [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] divergiert [mm] (a_{n}) [/mm] bestimmt gegen [mm] +\infty. [/mm] Dies ist aber gemäß Definition für eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] genau dann der Fall, wenn zu jedem K [mm] \in \IR [/mm] ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, so dass

[mm] a_{n} [/mm] > K für alle n [mm] \ge [/mm] N.

Somit gibt es kein K mit [mm] a_{n} \le [/mm] K für alle n. Also ist die Folge nach oben unbeschränkt.


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                
Bezug
Beschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Di 25.07.2017
Autor: sae0693


> Es ist also für die untere Beschränktheit zu zeigen, dass
> [mm]\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge[/mm] 0 für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>  
> Bekommst du das hin?


Würde ich so machen:
[mm]\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge[/mm] 0 // Rechte Seite mit (n-1/2) multiplizieren.

[mm] n^{2} \ge [/mm]  0

n² ist immer größer 0, da n [mm] \ge [/mm] 1.

Zum Rest: Danke für die Erklärung. Das kommt im Studienheft im nächsten Kapitel :-)


Bezug
                        
Bezug
Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Di 25.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> > Es ist also für die untere Beschränktheit zu zeigen, dass
> > [mm]\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge[/mm] 0 für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> >

>

> > Bekommst du das hin?

>
>

> Würde ich so machen:
> [mm]\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge[/mm] 0 // Rechte Seite mit
> (n-1/2) multiplizieren.

>

> [mm]n^{2} \ge[/mm] 0

>

> n² ist immer größer 0, da n [mm]\ge[/mm] 1.

>

Diese Erklärung benötigst du m.M. nach hier vor allem auch für die Multiplikation mit n-0.5. Das muss ja positiv sein und ist es eben auch wegen [mm] n\ge{1}. [/mm]

Ansonsten passt es.


Gruß, Diophant

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Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:25 Mi 26.07.2017
Autor: X3nion

Hallo sae0693,

kurz noch zum Fall [mm] \frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge [/mm] 2.

Es folgt aus n [mm] \ge [/mm] 1, dass [mm] n-\frac{1}{2} [/mm] > 0 und somit
[mm] \frac{n^{2}}{n-0.5} \ge [/mm] 2 <=> [mm] n^{2} \ge [/mm] 2n - 1 <=> [mm] n^{2} [/mm] -2n + 1 [mm] \ge [/mm] 0 <=> [mm] (n-1)^{2} \ge [/mm] 0.  
Dies ist offensichtlich für alle n [mm] \ge [/mm] 1 der Fall, somit ergibt sich die Behauptung.


Viele Grüße,
X3nion

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Beschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mi 26.07.2017
Autor: sae0693

Kann ich grundsätzlich nachvollziehen. Die Beschränktheit bei 2 anzugeben ist jedoch auch in Ordnung, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mi 26.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Kann ich grundsätzlich nachvollziehen. Die Beschränktheit
> bei 2 anzugeben ist jedoch auch in Ordnung, oder?

wie schon gesagt wurde: wenn es nur um Beschränktheit nach unten geht taugt jede untere Schranke. Du könntest also auch [mm] -157
Anders sieht es aus, wenn die Aufgabenstellung fordert die Beschränkheit durch einen bestimmten Wert nachzuweisen, aber das ist dir ja auch klar.

Gruß, Diophant

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