Beschränktheit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle!
Ist die abzählbar-unendliche Vereinigung beschränkter Mengen wieder beschränkt?
Genauer: Ich weiß von einer stetigen Funktion [mm] $f:\IR\longrightarrow\IR$, [/mm] dass
[mm] $\vert{f(x)}\vert\,\leqslant\,C\quad\forall\,x\geqslant [/mm] 0$
gilt, wobei [mm] $00$) [/mm]
auf den abgeschlossenen Intervallen [mm] $[0,2t_0],[t_0,3t_0],[2t_0,4t_0],...$ [/mm] beschränkt. Ist nun auch die Menge
[mm] $\bigcup_{x\geqslant 0}f(x)\,=\,\bigcup_{n\in\IN_0}\bigcup_{[nt_0,(n+2)t_0]}f(x)$
[/mm]
beschränkt?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
die abzählbare Vereinigung beschränkter Mengen ist nicht beschränkt.
z.B. ist [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] unbeschränkt,
somit kann $ [mm] \mathbb{R} \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}(-n,n)$ [/mm] nicht beschränkt sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
Hallo und danke für die Antwort.
> die abzählbare Vereinigung beschränkter Mengen ist nicht
> beschränkt.
Ich habe es mir irgendwie schon gedacht. Was ist aber in meinem speziellen Fall? Ich habe eine endliche Schranke für alle [mm] $x\geqslant [/mm] 0$. Dann folgt es ausnahmsweise doch, oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Fr 28.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Also so wie ich dein Beispiel verstanden habe... $f(x)$ für [mm] $x\in\IR_0^+$ [/mm] beschränkt, d.h. [mm] $|f(\IR_0^+)|
In deinem Beispiel vereinigst du also Mengen, die alle eine gemeinsame obere Schranke, nämlich $C$ besitzen, deshalb kannst du davon auch unendlich viele nehmen (egal ob abzählbar oder nicht), und das Ergebnis ist immernoch beschränkt. Im Allgemeinen geht das jedoch nicht, wie das Beispiel von Jorgi zeigt, denn da gibt es eben keine Zahl $C$, die Schranke aller Mengen $(-n,n)$ ist.
Jede endliche Vereinigung beschränkter Mengen ist beschränkt.
Über die Beschränktheit einer unendlichen Vereinigung beschränkter Mengen lässt sich ohne Weiteres nichts aussagen.
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