Beschränktheit < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wie bestimme ich Infimum, Supremum, Minimum, Maximum der folgenden Menge?
a) [mm] \{a^x | x \in \IN, a>0\}
[/mm]
b) [mm] \{1/(1+x^2) | x \in \IN 0 \} [/mm]
Und wie gehe ich allgemein bei solchen Aufgaben vor? |
Hallo!
Leider habe ich bisher keine gute Erklärung im Internet finden können,
aber ich verstehe nicht, wie man solche Aufgaben löst.
Naima
|
|
| |
|
> Wie bestimme ich Infimum, Supremum, Minimum, Maximum der
> folgenden Menge?
> a) [mm]\{a^x | x \in \IN, a>0\}[/mm]
> b) [mm]\{1/(1+x^2) | x \in \IN 0 \}[/mm]
> Und wie gehe ich allgemein bei solchen Aufgaben vor?
> Hallo!
> Leider habe ich bisher keine gute Erklärung im Internet
> finden können,
> aber ich verstehe nicht, wie man solche Aufgaben löst.
>
> Naima
>
Hallo,
ich schreibe mir solche Mengen immer erstmal in aufzählender Form auf, um eine Idee zu bekommen, was ich beweisen möchte. Wenn man erstmal weiß, was man zeigen möchte, ist nämlch schon die erste Hürde genommen.
Welche Elemente sind denn in dem Mengen? Schreib die mal auf.
Hast Du schon Vermutungen?
Wie ist das Maximum definiert? Wie das Minimum?
Und das Supremum?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Also ehrlich geasagt weiß ich überhaupt nichts damit anzufangen.
Das einzige was ich verstande habe ist, dass Supremum und Maximum
das gleiche sind, nur dass das Supremum auch außerhalb der
Menge liegen kann, währen das Maximum noch in der Menge liegen muss.
Ebenso gilt das das für das Infimum und Minimum.
Bei a) muss a ja positiv sein und x kann jede beliebige natürliche Zahl sein.
Aber ich verstehe nicht, was ich daran erkennen kann.
Bei b) wäre mein einziger Gedanke gewesen, dass der Nenner nicht
Null werden darf, aber da x quadriert wird, ist das ja sowieso nie der Fall.
Der Bruch geht ja höchstens gegen Null, oder?
Sorry, aber ich kann mir unter all dem nichts vorstellen.
Es wäre schön, wenn du mir da weiterhelfen könntest.
|
|
|
| |
|
> Also ehrlich geasagt weiß ich überhaupt nichts damit
> anzufangen.
> Das einzige was ich verstande habe ist, dass Supremum und
> Maximum
> das gleiche sind, nur dass das Supremum auch außerhalb
> der
> Menge liegen kann, währen das Maximum noch in der Menge
> liegen muss.
> Ebenso gilt das das für das Infimum und Minimum.
Hallo,
na, das ist ja schon ein bißchen was.
Um solche Aufgaben lösen zu können, brauchst Du aber zusätzlich die Definitionen.
Anders kommt man nicht klar.
>
> Bei a) muss a ja positiv sein und x kann jede beliebige
> natürliche Zahl sein.
Irgendwie scheinst Du sie nicht aufzählen zu wollen.
dann mach ich's halt.
[mm] M_1=\{a,a^2, a^3, a^4, a^5 ,a^6, a^7 ...\} [/mm] mit a>0.
Wie benehmen sich diese Potenzen?
Machen wir's mal konkreter:
Was ist, wenn a=5 ist? Minimum? Maximum?
Für a=1? Minimum? Maximum?
Für [mm] a=\bruch{1}{7}? [/mm] Min? Max?
> Bei b) wäre mein einziger Gedanke gewesen, dass der Nenner
> nicht
> Null werden darf, aber da x quadriert wird, ist das ja
> sowieso nie der Fall.
> Der Bruch geht ja höchstens gegen Null, oder?
Auch hier können wir's doch mal aufzahlend schreiben:
[mm] M_2=\{\bruch{1}{1+0^2}, \bruch{1}{1+1^2}, \bruch{1}{1+3^2}, \bruch{1}{1+4^2} ...\}
[/mm]
Daß das immer dichter an die Null herangeht, ahnst Du wahrscheinlich schon. Ist die Null ein Minimum?
Wie schaut's nach oben hin aus?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Wie benehmen sich diese Potenzen?
Die Potenzen werden immer größer, somit wird normalerweise auch der Gesamtausdruck [mm] a^n [/mm] größer.
> Was ist, wenn a=5 ist? Minimum? Maximum?
Dann ist das Minimum 5 und das Maximum geht gegen unendlich, oder?
> Für a=1? Minimum? Maximum?
Da ist Minimum = Maximum = 1
> Für [mm]a=\bruch{1}{7}?[/mm] Min? Max?
Hier wäre dann das Minimum = 1/7 und das Maximum geht gegen Null.
> Daß das immer dichter an die Null herangeht, ahnst Du
> wahrscheinlich schon. Ist die Null ein Minimum?
Ja, dass der Ausdruck gegen Null geht, erkenne ich sofort.
Die Null ist demnach nicht das Minimum, oder?
Ich würde sagen sagen, dass Null aber das Infimum ist,
da Null außerhalb der Menge liegt (denn die Menge nähert sich zwar der Null, wird sie aber niemals erreichen).
Gäbe es dann einfach kein Minimum?
> Wie schaut's nach oben hin aus?
Da wäre dann die Grenze 1. Also würde ich sagen, Maximum = Supremum = 1.
Vielleicht kannst du mir ja noch ein paar Denkanstöße geben.
Liebe Grüße
Naima
P.S. Wo finde ich denn eine gute Definition der Begriffe? Hab bei Wikip. geschaut, aber ehrlich gesagt, wird mir das dort nicht so wirklich klar.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich beschränke mich im Folgenden auf die reellen Zahlen.
Ist Dir klar, was eine obere Schranke einer Menge ist? Das ist eine Zahl, die [mm] \ge [/mm] jedem Element der Menge ist.
Denk Dir ein Beispiel aus für eine Menge und gib' drei obere Schranken an.
Das Maximum einer Menge ist die größte Zahl, die in der Menge drin ist.
Denk Dir eine Menge aus, welche ein maximum hat und gib das Maximum an. Gib auch eine obere Schranke dieser Menge an, die sich vom Maximum entscheidet.
Nun zum gefürchteten Supremum: Dir ist hoffentlich klar, daß eine Menge mehrere obere Schranken haben kann. Das Supremum einer Menge ist die kleinste der oberen Schranken.
Wenn die Menge ein Maximum hat, ist das gleichzeitig das Supremum.
Aber es gibt auch Mengen, die kein Maximum haben, z.B. [mm] \{ 5-\bruch{1}{2}, 5-\bruch{1}{3}, 5-\bruch{1}{4}, 5-\bruch{1}{5}, 5-\bruch{1}{6}, ...\}.
[/mm]
Du siehst sicher, daß 5 hier eine obere Schranke ist. % ist aber kein Maximum, denn die 5 wird nie erreicht.
5 ist aber die kleinste obere schranke (Supremum), denn Du kannst zeigen, daß jede zahl, die kleiner als 5 ist, irgendwann überschritten wird.
Menge, die nicht beschränkt sind nach oben, können natürlich kein Maximum haben und kein Supremum.
Wenn Du das gefühl hast, die begriffe nun verstanden zu haben, schau Dir die Definitionen aus Deinem Skript/ Mitschrift an. Paßt's?
Wenn's nicht paßt, schreib sie mal auf und sa', was Du nicht verstehst.
> > Wie benehmen sich diese Potenzen?
> Die Potenzen werden immer größer, somit wird normalerweise
> auch der Gesamtausdruck [mm]a^n[/mm] größer.
>
> > Was ist, wenn a=5 ist? Minimum? Maximum?
> Dann ist das Minimum 5
Genau.
> und das Maximum geht gegen
> unendlich, oder?
So darfst Du das nicht sagen.
Die Menge ist nicht beschränkt, also kann sie kein Maximum haben.
Für Deine Aufgabe müßtest Du nun zeigen: für a>1 ist das Minimum=a, nach oben ist die menge nicht beschränkt.
>
> > Für a=1? Minimum? Maximum?
> Da ist Minimum = Maximum = 1
Genau.
Für Deine Aufgabe müßtest Du nun zeigen: für a=1 ist das Minimum=a=Maximum a.
>
> > Für [mm]a=\bruch{1}{7}?[/mm] Min? Max?
> Hier wäre dann das Minimum = 1/7 und das Maximum geht
> gegen Null.
So'n Quark! 1/7 ist doch größer als 0! Da kann 1/7 doch nicht das Minimum sein!!!
Es ist 1/7 das Maximum.
0 ist auf jeden fll eine untere Schranke, denn negativ werden die ja nicht. Ist die 0 ein Minimum? Ein Infimum?
Zur letzten der Mengen:
> > Daß das immer dichter an die Null herangeht, ahnst Du
> > wahrscheinlich schon. Ist die Null ein Minimum?
> Ja, dass der Ausdruck gegen Null geht, erkenne ich
> sofort.
> Die Null ist demnach nicht das Minimum, oder?
> Ich würde sagen sagen, dass Null aber das Infimum ist,
> da Null außerhalb der Menge liegt (denn die Menge nähert
> sich zwar der Null, wird sie aber niemals erreichen).
> Gäbe es dann einfach kein Minimum?
Genauso ist es: ein Minimum gibt es hier nicht, und in Deiner Aufgabe müßtest u zeigen, daß die 0 die größte der unteren Schranken ist, also das Infimum.
> > Wie schaut's nach oben hin aus?
> Da wäre dann die Grenze 1. Also würde ich sagen, Maximum =
> Supremum = 1.
Genau.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
