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| Aufgabe | Gegeben ist folgende Ungleichung:
$ [mm] \bruch{1}{n+1} \le [/mm] ln(n+1)-ln(n) [mm] \le \bruch{1}{n} [/mm] $
Zeigen Sie ausgehend von dieser Ungleichung (oder anders), dass die Folge
[mm] a_{n}=1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}-ln(n)
[/mm]
monoton ist und beschränkt. |
Hallo,
also Monotonie habe ich gezeigt ausgehend von der Ungleichung habe ich nämlich:
[mm] a_{n}-a_{n+1}=\bruch{1}{n}-ln(n)-\bruch{1}{n+1}+ln(n+1)
[/mm]
Damit die folgende monoton fallend ist, müsste dieser Ausdruck größer als null sein:
[mm] \bruch{1}{n}-ln(n)-\bruch{1}{n+1}+ln(n+1) \ge [/mm] 0
[mm] \bruch{1}{n}+ln(n+1)-ln(n) \ge \bruch{1}{n+1} [/mm] da sowohl [mm] \bruch{1}{n} [/mm] als auch ln(n+1)-ln(n) [mm] \ge \bruch \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Was ich jetzt aber nicht zu zeigen vermag ist, dass die Folge beschränkt ist. Wohl (so nehme ich an) nicht nach oben, aber nach unten. Das würde sich dann auch damit decken, dass sie monoton fallend ist.
Denn die nächste Aufgabe lautet dann: Beweisen Sie, dass [mm] a_{n} [/mm] konvergiert. Das würde schön passen, wenn sie unten beschränkt und monoton fallend ist.
Kann mir jemand helfen ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mo 22.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> Gegeben ist folgende Ungleichung:
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> [mm]\bruch{1}{n+1} \le ln(n+1)-ln(n) \le \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Zeigen Sie ausgehend von dieser Ungleichung (oder anders),
> dass die Folge
>
> [mm]a_{n}=1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}-ln(n)[/mm]
>
> monoton ist und beschränkt.
> Hallo,
>
> also Monotonie habe ich gezeigt ausgehend von der
> Ungleichung habe ich nämlich:
>
> [mm]a_{n}-a_{n+1}=\bruch{1}{n}-ln(n)-\bruch{1}{n+1}+ln(n+1)[/mm]
Müsste das nicht
[mm] a_n - a_{n+1} = -ln(n) - \bruch{1}{n+1} + ln(n+1)[/mm]
heißen? [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist doch ebenfalls Teil der Folge [mm] a_{n+1} [/mm] und hebt sich somit auch weg.
> Damit die folgende monoton fallend ist, müsste dieser
> Ausdruck größer als null sein:
>
> [mm]\bruch{1}{n}-ln(n)-\bruch{1}{n+1}+ln(n+1) \ge[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{1}{n}+ln(n+1)-ln(n) \ge \bruch{1}{n+1}[/mm] da sowohl
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als auch ln(n+1)-ln(n) [mm]\ge \bruch \bruch{1}{n+1}[/mm]
Da muss jetzt natürlich entsprechend das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] weg, ist aber nicht weiter dramatisch
[mm]-ln(n) - \bruch{1}{n+1} + ln(n+1) = ln(n+1) - ln(n) -\bruch{1}{n+1} \ge ...[/mm]
Hier bekannte Voraussetzung einsetzen. Geht wunderbar auf.
>
> Was ich jetzt aber nicht zu zeigen vermag ist, dass die
> Folge beschränkt ist. Wohl (so nehme ich an) nicht nach
> oben, aber nach unten. Das würde sich dann auch damit
> decken, dass sie monoton fallend ist.
Eine monoton fallende Folge ist in aller Regel auch nach oben beschränkt (durch ihren Startwert [mm] a_0 [/mm] bzw. hier [mm] a_1 [/mm] ), diese (obere) Schranke ist aber (in aller Regel) wenig interessant.
Ob die Folge nach unten beschränkt ist musst du noch zeigen. Also:
z.Z.: [mm]\exists k \in \IR[/mm] mit [mm]a_n \le k \forall n [/mm]
Das könnte man jetzt entweder direkt beweisen, oder das Gegenteil annehmen und einen Widerspruchsbeweis führen. Eine wirklich zündende Beweisidee habe ich gerade aber auch nicht.
> Denn die nächste Aufgabe lautet dann: Beweisen Sie, dass
> [mm]a_{n}[/mm] konvergiert. Das würde schön passen, wenn sie unten
> beschränkt und monoton fallend ist.
>
> Kann mir jemand helfen ?
>
> LG
Ja, das wäre sehr elegant. 
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hallo,
danke für deine antwort. Du hast natürlich recht mit deinen korrekturen, ich übernehme / verbessere das.
Leider ist meine Frage damit noch nicht ganz beantwortet. Ich weiß eben nicht wie ich zeigen soll, dass sie nach unten beschränkt ist. Wie es normalerweise funktionieren sollte, weiß ich. Nur habe ich eben keine Idee wie es für diese Folge funktioniert.
Mein Vorschlag wäre die Folge erstmal umzuschreiben und von dort weiterzuarbeiten, ich weiß leider nur nicht wie?!
[mm] a_{n}=1+\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k}-ln(n)
[/mm]
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, so kannst du die Folge schreiben. Du kannst sogar noch die 1 in die Summe packen. ;)
[mm] a_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}-ln(n).
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das mit der Monotonie ist ja nun geklärt.
Für die Beschränktheit:
Setz mal in die Ungleichungskette die ersten paar natürliche Zahlen ein.
[mm] $\bruch{1}{n+1} \le [/mm] ln(n+1)-ln(n) [mm] \le \bruch{1}{n}$
[/mm]
Dann erhältst du unter anderem die Beziehungen:
[mm] $\bruch{1}{2} \le [/mm] ln(2)-ln(1) [mm] \le \bruch{1}{1}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{3} \le [/mm] ln(3)-ln(2) [mm] \le \bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{4} \le [/mm] ln(4)-ln(3) [mm] \le \bruch{1}{3}$
[/mm]
...
Für die Beschränktheit nach unten ist immer nur die rechte Hälfte der Ungleichungskette wichtig. Durch sie weißt du, dass
[mm] $1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+...+\bruch{1}{n}-ln(n) \ge [/mm] [ln(2)-ln(1)]+[ln(3)-ln(2)]+...+[ln(n+1)-ln(n)]-ln(n)>[ln(2)-ln(1)]+[ln(3)-ln(2)]+...+[ln(n+1)-ln(n)]-ln(n+1)=-ln(1)=0$
Denn in der Summe heben sich fast alle Ausdrücke weg (Stichwort Teleskopsumme).
Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mo 22.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
großartige Antwort. Vielen Dank :)
Hast mir meinen Abend gerettet.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem! Musste die Aufgabe auch auf meinem letzten Übungsblatt machen. :> Allerdings etwas anders.
Teufel
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