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| Aufgabe | | Eine Aufgabe von dem Übungsblatt: M3:= {x/x+1} |
Hallo,
ich bereite mich im moment auf die Analysis I Klausur vor und habe eine Frage zur Beschränktheit.
Also wie man die Schranken ( o. bzw. untere Schranke ausrechnet habe ich verstanden), doch wo bei ich mir noch unsicher bin ist, wie ich meine Schranken wähle. So, dass ich im weiteren verlauf diese Schranken als Supremum und Infimum ausrechnen kann. Ich hoffe meine Frage ist schlüssig. In den Übungsaufgaben haben wir meistens als untere Schranke die 0 gewähl und als obere Schranke die 1. Stimmte meistens auch mit dem Supremum oder Infimum. Bin etwas verwirrt.
Bitte um hilfe.
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
es wäre schön gewesen, wenn du noch eine Aufgabe angegeben hättest. Ich sehe nur einen Term, und solange [mm] x\ne{-1} [/mm] beliebig vorgegeben ist, dann ist dieser Term nicht beschränkt. Um dir zu raten, wie du das zeigen solltest, müsste man wissen, was verwendet werden darf. Bei diesen Aufgabe ja für gewöhnlich nicht viel. Ich würde es daher hier mit einem Widerspruchsbeweis versuchen.
Zu deinen Fragen, wie man Schranken wählt und zeigt: am besten, man sieht Supremum und Infimum gleich und zeigt diese dann über eine Ungleichung, die man jeweils in eine wahre Aussage überführt. Mehr kann man so schlecht sagen, ohne eine konkrete Aufgabe mit einer beschränkten Menge. Nur eines, prophylaktisch sozusagen: verabschiede dichh ggf. schnell von der Vorstellung, dass man so etwas mit irgendeinem Schema F angehen kann.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 So 22.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
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> es wäre schön gewesen, wenn du noch eine Aufgabe
> angegeben hättest. Ich sehe nur einen Term, und solange
> [mm]x\ne{-1}[/mm] beliebig vorgegeben ist, dann ist dieser Term
> nicht beschränkt.
nein - wir sehen sogar etwas ganz schlimmes:
Zunächst gilt
[mm] $$\{x/x+1\}=\{\frac{x}{x}+1\}=\{2\}\,,$$
[/mm]
sofern $x [mm] \not=0$ [/mm] ist. (Und diese Menge ist in trivialer Weise beschränkt.)
Daher erste bitte an den Aufgabensteller: Klammern setzen.
Zweitens:
Die Menge [mm] $\{x/(x+1)\}$ [/mm] wäre weiterhin einelementig - denn in dieser Notation ist davon auszugehen, dass $x [mm] \not=-1$ [/mm] beliebig, aber fest ist. Daher nächste Bitte an den Aufgabensteller:
Mengenschreibweisen nachlesen, neu lernen und üben!
Drittens:
Um eine Aussage über die Menge [mm] $\{x/(x+1): x \text{ hat Eigenschaft }E\}=\bigcup_{\substack{x\\x\text{ hat Eigenschaft }E}}\{x\}$ [/mm] treffen zu können, müssen wir natürlich über die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] informiert werden. Und das ist das, was Du, Diophant, meintest:
Letzte Bitte an den Aufgabensteller: Informiere uns über diese Eigenschaft!
Gruß,
Marcel
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Vielen dank für die raschen Antworten.
Ich versuche es mal mit einer anderen Aufgabestellung. [mm] M:=\{1/n | n \in \IN }. [/mm] So gezeigt wurde, dass 0 eine untere Schranke ist und 1 eine obere Schranke ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 22.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen dank für die raschen Antworten.
>
> Ich versuche es mal mit einer anderen Aufgabestellung.
> [mm]M:=\{1/n | n \in \IN }.[/mm] So gezeigt wurde, dass 0 eine
> untere Schranke ist und 1 eine obere Schranke ist.
naja, was wäre denn da zu zeigen? Einfach nur, dass gilt:
$$0 [mm] \le [/mm] 1/n [mm] \le [/mm] 1$$
für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Und [mm] $1\,$ [/mm] ist sogar Maximum dieser Menge (denn [mm] $1/n=1\,$ [/mm] gilt ja für $n=1 [mm] \in \IN$), [/mm] und ein Maximum ist immer auch Supremum (umgekehrt ist aber nicht jedes Supremum auch Maximum). Etwas kniffliger (wenn auch nicht so viel kniffliger) ist der Nachweis, dass [mm] $0\,$ [/mm] das Infimum dieser Menge ist - also der Nachweis, dass [mm] $0\,$ [/mm] die größte untere Schranke ist.
Du kannst es etwa so machen:
1. Du zeigst, dass [mm] $0\,$ [/mm] untere Schranke der Menge ist (das ist nichts anderes als der Nachweis, dass $0 [mm] \le [/mm] 1/n$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt). Dafür darfst Du sicher davon ausgehen, dass $n [mm] \ge [/mm] 1 > 0$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Der Rest folgt dann durch Umformung dieser Ungleichung.
2. Du zeigst: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein Element $m [mm] \in \{1/n: n \in \IN\}\,,$ [/mm] also ein [mm] $m=m_\epsilon$ [/mm] mit der Darstellung [mm] $m=1/n_0$ [/mm] mit einem [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so, dass $0 [mm] \le m=1/n_0 \le 0+\epsilon\,.$ [/mm] (Denn daraus folgt, dass [mm] $\text{inf}\{1/n: n \in \IN\} \ge [/mm] 0$ gelten muss. Und für jede untere Schranke [mm] $u\,$ [/mm] von [mm] $\{1/n: n \in \IN\}$ [/mm] muss ja nach Definition des Infimums gelten, dass [mm] $\text{inf}\{1/n: n \in \IN\} \ge [/mm] u$ - und wir haben dann schon gesehen, dass [mm] $u=0\,$ [/mm] eine untere Schranke von [mm] $\{1/n: n \in \IN\}$ [/mm] ist - dann beide Ungleichungen für [mm] $u=0\,$ [/mm] hinschreiben und zusammenbasteln).
Gruß,
Marcel
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