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| Aufgabe | Ist die Aussage jeweils wahr oder falsch? Begründen Sie; gegebenfalls anhand von Gegenbeispielen
a) Eine beschränkte Funktion besitzt immer ein Maximum.
b) Eine stetige Funktion ist auf einem abgeschlossenen Intervall immer beschränkt.
c) Eine Funktion kann auf einem halboffenen Intervall kein absolutes Maximum besitzen.
d) Es gibt Funktionen, die auf abgeschlossenen Intervallen definiert und dort nach oben unbeschränkt sind. |
Hier meine Vermutungen:
a) die Aussage ist falsch, denn z. B. konvergiert eine Funktion von -Unendlich an eine untere Schranke, d. h. nach unten begrenzt, so gibt es kein Maximum; konvergiert eine Funktion gegen eine obere Schranke muss es auch kein Maximum geben, es könnte nur ein Maximum geben
b) die Aussage ist wahr, denn im Intervall (a,b) ist konvergiert die Funktion gegen f(b), ist also beschränkt
c) die Aussage ist falsch; die Funktion kann z. B. ein absolutes Maximum besitzen, besitzt dann aber kein absolutes Minimum (da im halboffenen Intervall), genauso kann sie ein absolutes Minimum besitzen, besitzt dann aber kein absolutes Maximum im Intervall
d) die Aussage ist falsch; innerhalb eines Intervalls (a,b) ist eine Funktion durch den Funktionswert f(b) nach oben beschränkt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ist die Aussage jeweils wahr oder falsch? Begründen Sie;
> gegebenfalls anhand von Gegenbeispielen
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast meist richtig gesagt, ob die Aussagen stimmen oder nicht, aber Deine Begründungen sind etwas skurril.
Du sollst hier begründen mit Sätzen bzw. konkrete Beispiele v. Funktionen bringen
> a) Eine beschränkte Funktion besitzt immer ein Maximum.
> a) die Aussage ist falsch,
Ja.
> denn z. B. konvergiert eine
> Funktion von -Unendlich an eine untere Schranke, d. h. nach
> unten begrenzt, so gibt es kein Maximum; konvergiert eine
> Funktion gegen eine obere Schranke muss es auch kein
> Maximum geben, es könnte nur ein Maximum geben
Daß die Funktion beschränkt ist, bedeutet: nach oben und nach unten beschränkt.
Aber auch sonst verstehe ich nicht recht, was Du schreibst: wieso sollte eine Funktion, die nach unten beschränkt ist, kein Maximum haben.
Wie oben gesagt: gefordert ist ein konkretes Gegenbeispiel.
Zumindest solltest Du den Graphen solch einer Funktion aufzeichnen.
> b) Eine stetige Funktion ist auf einem abgeschlossenen
> Intervall immer beschränkt.
> b) die Aussage ist wahr,
Ja.
> denn im Intervall (a,b) ist
> konvergiert die Funktion gegen f(b), ist also beschränkt
???
Wie lautet der Satz, der hier zum Tragen kommt?
> c) Eine Funktion kann auf einem halboffenen Intervall kein
> absolutes Maximum besitzen.
> c) die Aussage ist falsch;
Ja.
> die Funktion kann z. B. ein
> absolutes Maximum besitzen, besitzt dann aber kein
> absolutes Minimum (da im halboffenen Intervall),
???
Kannst Du mal irgendeine Funktion über einem halboffenen Intervall zeichnen?
z.B. sin(x) über (0, 6]?
Die hat doch ein absolutes Minimum (wo?) und ein absolutes Maximum (wo?).
> genauso
> kann sie ein absolutes Minimum besitzen, besitzt dann aber
> kein absolutes Maximum im Intervall
> d) Es gibt Funktionen, die auf abgeschlossenen Intervallen
> definiert und dort nach oben unbeschränkt sind.
> d) die Aussage ist falsch;
nein.
> innerhalb eines Intervalls
> (a,b)
> ist eine Funktion durch den Funktionswert f(b) nach
> oben beschränkt
Das ist doch der totale Quatsch:
Gucken wir mal f(x)= -2x über dem Intervall [3,4] an.
Die Funktion ist doch nicht durch f(4)=-8 nach oben beschränkt.
Hast Du überhaupt begriffen, was Beschränktheit einer Funktion bedeutet? Das bedeutet, daß die Funktionswerte nach oben und unten beschränkt sind.
Gruß v. Angela
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