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Beschränktheit bei Teilmengen: Ansatz überprüfen!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Di 20.11.2012
Autor: Lisa12

Aufgabe
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq \IQ [/mm]
Ist A nach oben beschränkt in B, so ist A nach oben beschränkt in  [mm] \IQ [/mm]

Hallo,
ich hab oben beschriebene Aufgabe zu lösen!
Mein Ansatz:
Sei A nach oben beschränkt in B, dann existiert ein a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B sodass
a [mm] \le [/mm] b.  Sei nun B nach oben beschränkt in [mm] \IQ [/mm] dann existiert ein b [mm] \in [/mm] B, q [mm] \in \IQ [/mm] sodass b [mm] \le [/mm] q. Wegen  A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq \IQ [/mm] folgt dann a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] q und somit a < q und A ist nach oben beschränkt in [mm] \IQ. [/mm]
Meine Frage: Geht das so??

        
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Di 20.11.2012
Autor: fred97


> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq \IQ[/mm]
>  Ist A nach oben beschränkt in
> B, so ist A nach oben beschränkt in  [mm]\IQ[/mm]
>  Hallo,
>  ich hab oben beschriebene Aufgabe zu lösen!
>  Mein Ansatz:
>  Sei A nach oben beschränkt in B, dann existiert ein a [mm]\in[/mm]
> A, b [mm]\in[/mm] B sodass
> a [mm]\le[/mm] b.  


Nein, sondern: es ex. ein b [mm] \in [/mm] B mit: a [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A.



> Sei nun B nach oben beschränkt in [mm]\IQ[/mm]


Das ist aber nicht vorausgesetzt !!!

> dann
> existiert ein b [mm]\in[/mm] B, q [mm]\in \IQ[/mm] sodass b [mm]\le[/mm] q. Wegen  A
> [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq \IQ[/mm] folgt dann a [mm]\le[/mm] b [mm]\le[/mm] q und
> somit a < q und A ist nach oben beschränkt in [mm]\IQ.[/mm]
>  Meine Frage: Geht das so??  

Nein.

Es ex. ein b [mm] \in [/mm] B mit:

      (*)  a [mm] \le [/mm] b für alle a [mm] \in [/mm] A

Da B [mm] \subseteq \IQ, [/mm] ist auch b [mm] \in \IQ. [/mm] Damit folgt aus (*) die Behauptung.

FRED


Bezug
                
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Di 20.11.2012
Autor: Lisa12

Danke.
Bei Teil b) soll man zeigen das [mm] sup_{\IQ}A \le sup_{B}A [/mm] ist. Aber müsste es nicht eigentlich [mm] sup_{B}A \le sup_{\IQ}A [/mm] sein??

Bezug
                        
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Di 20.11.2012
Autor: fred97


> Danke.
> Bei Teil b) soll man zeigen das [mm]sup_{\IQ}A \le sup_{B}A[/mm]
> ist. Aber müsste es nicht eigentlich [mm]sup_{B}A \le sup_{\IQ}A[/mm]
> sein??

Nein. nach meinen obigen Ausführungen ist doch [mm] sup_{B}A [/mm] eine obere Schranke von A in [mm] \IQ. [/mm]

Damit ist  [mm]sup_{\IQ}A \le sup_{B}A[/mm]

FRED


Bezug
                                
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 Di 20.11.2012
Autor: Lisa12

Also kann ich schreiben:
[mm] sup_{B}A [/mm] ist kleinste obere Schranke von A in B. Wegen A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq \IQ [/mm] ist [mm] sup_{B}A [/mm] eine obere Schranke von A in [mm] \IQ. [/mm] Da [mm] sup_{\IQ}A [/mm] jedoch die kleinste obere Schranke von A in [mm] \IQ [/mm] ist muss [mm] sup_{\IQ}A \le sup_{B}A [/mm]  gelten!

Bezug
                                        
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Di 20.11.2012
Autor: fred97


> Also kann ich schreiben:
>  [mm]sup_{B}A[/mm] ist kleinste obere Schranke von A in B. Wegen A
> [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq \IQ[/mm] ist [mm]sup_{B}A[/mm] eine obere Schranke
> von A in [mm]\IQ.[/mm] Da [mm]sup_{\IQ}A[/mm] jedoch die kleinste obere
> Schranke von A in [mm]\IQ[/mm] ist muss [mm]sup_{\IQ}A \le sup_{B}A[/mm]  
> gelten!

Ja

FRED


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