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Beschränktheit bei Teilmengen: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Di 20.11.2012
Autor: Lisa12

Aufgabe
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq \IQ [/mm]
i) A ist nach oben beschränkt in Q aber nicht in B

Hallo ich soll unteranderem obengenannte Aufgabe bearbeiten!
Mit fehlt aber jeglicher Ansatz wie ich daran gehen soll! :(
Ich würde das echt gerne verstehen, da es noch mehrere Teilaufgaben gibt, ich die aber echt gerne allein hinbekommen würde!
Ansatz:
Es existiert ein q [mm] \in \IQ [/mm] sodass a [mm] \le [/mm] q für alle a [mm] \in [/mm] A. Es existiert jedoch kein b [mm] \in [/mm] B sodass a [mm] \le [/mm] b. Das heißt eigentlich müsste b [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] q gelten. Da aber doch A [mm] \subseteq [/mm] B kann das doch nicht gehen odeR?

        
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Di 20.11.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Lisa,


> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq \IQ[/mm]
>  i) A ist nach oben beschränkt
> in Q aber nicht in B
>  Hallo ich soll unteranderem obengenannte Aufgabe
> bearbeiten!

Welche Aufgabe denn?

Sollst du Mengen [mm]A, B[/mm] angeben mit den von dir erwähnten Eigenschaften?

Oder widerlegen, dass es derartige Mengen $A,B$ gibt?

Oder was auch immer? Und meinst du mit [mm]Q[/mm] die Menge [mm]\IQ[/mm]?

Weil du zuerst [mm]\IQ[/mm] schreibst und dann [mm]Q[/mm] ...


Gruß

schachuzipus


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Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Di 20.11.2012
Autor: fred97


> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq \IQ[/mm]
>  i) A ist nach oben beschränkt
> in Q aber nicht in B
>  Hallo ich soll unteranderem obengenannte Aufgabe
> bearbeiten!
>  Mit fehlt aber jeglicher Ansatz wie ich daran gehen soll!
> :(
>  Ich würde das echt gerne verstehen, da es noch mehrere
> Teilaufgaben gibt, ich die aber echt gerne allein
> hinbekommen würde!
>  Ansatz:
>  Es existiert ein q [mm]\in \IQ[/mm] sodass a [mm]\le[/mm] q für alle a [mm]\in[/mm]
> A. Es existiert jedoch kein b [mm]\in[/mm] B sodass a [mm]\le[/mm] b. Das
> heißt eigentlich müsste b [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] q gelten. Da aber
> doch A [mm]\subseteq[/mm] B kann das doch nicht gehen odeR?


Ich verstehe die Aufgabe so:

Du sollst konkrete Mengen A und B angeben mit den Eigenschaften:


1.   A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B $ [mm] \subseteq \IQ [/mm] $

2.   A hat eine obere Schranke in [mm] \IQ. [/mm]

3.   Jede obere Schranke von A gehört nicht zu B.

Nimm z. B. mal [mm] $A=\{ -\bruch{1}{n}: n \in \IN\}$ [/mm]

Jede obere Schranke von a ist [mm] \ge [/mm] 0. Warum ? Nenn mal eine.

Nun bastle eine Menge B, die A umfasst  und die keine obere Schranke von A enthält.

Es ist einfacher, als Du vielleicht denkst.

FRED


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Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Di 20.11.2012
Autor: Lisa12

Ich würde sagen -1 ist kleinste obere Schranke und somit ist 0,1,2 usw. obere Schranken, oder?
Vielleicht ist B = A ?

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Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Di 20.11.2012
Autor: fred97


> Ich würde sagen -1 ist kleinste obere Schranke

Unsinn ! -1 ist doch keine obere Schranke von A. Dann wäre ja n [mm] \le [/mm] 1 für jedes n [mm] \in \IN. [/mm]

-1 ist eine untere Schranke von A, aber das interessiert hier nicht.

Überlege Dir, das gilt:

   q [mm] \in \IQ [/mm] ist obere Schranke von A [mm] \gdw [/mm]  q [mm] \in \IQ [/mm] und q [mm] \ge [/mm] 0.




> und somit
> ist 0,1,2 usw. obere Schranken, oder?

S.o.


>  Vielleicht ist B = A ?

Ja, das passt dann . hast Du im Nebel gestochert und geraten ? Oder hast Du gedacht ?

FRED


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Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Di 20.11.2012
Autor: Lisa12

Sorry, sollte auch untere Schranke heißen, denn bei oberer Schranke blicke ich nicht ganz durch!
Wenn n [mm] \in \IN [/mm] dann kommen Werte -1, [mm] -\bruch{1}{2}, -\bruch{1}{3}, -\bruch{1}{4}, -\bruch{1}{5}, -\bruch{1}{6} [/mm] usw. also 0 wird ja quasi nie erreicht, also ist 0 eine obere Schranke. Deswegen gilt:
q $ [mm] \in \IQ [/mm] $ ist obere Schranke von A $ [mm] \gdw [/mm] $  q $ [mm] \in \IQ [/mm] $ und q $ [mm] \ge [/mm] $ 0.
Mit B=A war nicht geraten, denn mit der unteren Schranke hab ich das quasi auch so gedacht, aber das war ja nicht gefragt!
Also wäre für [mm] A=B=\{-\bruch{1}{n}\} [/mm] die Behauptung erfüllt?!


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Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Di 20.11.2012
Autor: Lisa12

Ein weiteres Beispiel:
Wenn ich jetzt [mm] A=B=\{a\in \IQ | a^2<2 \} [/mm] wählen würde, dann würde doch [mm] sup_{B}A [/mm] existieren aber [mm] sup_{\IQ}A [/mm]   nicht ,
da [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ [/mm]
ODER?

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Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Di 20.11.2012
Autor: Helbig


> Ein weiteres Beispiel:
>  Wenn ich jetzt [mm]A=B=\{a\in \IQ | a^2<2 \}[/mm] wählen würde,
> dann würde doch [mm]sup_{B}A[/mm] existieren aber [mm]sup_{\IQ}A[/mm]  nicht
> ,
> da [mm]\wurzel{2} \not\in \IQ[/mm]
> ODER?

Nein. [mm] $\sqrt [/mm] 2$ liegt weder in [mm] $\IQ$ [/mm] noch in [mm] $B\,.$ [/mm]

Gruß,
Wolfgang


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Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Di 20.11.2012
Autor: Helbig

Hallo Lisa12,

> Sorry, sollte auch untere Schranke heißen, denn bei oberer
> Schranke blicke ich nicht ganz durch!
> Wenn n [mm]\in \IN[/mm] dann kommen Werte -1, [mm]-\bruch{1}{2}, -\bruch{1}{3}, -\bruch{1}{4}, -\bruch{1}{5}, -\bruch{1}{6}[/mm]
> usw. also 0 wird ja quasi nie erreicht, also ist 0 eine
> obere Schranke. Deswegen gilt:
>  q [mm]\in \IQ[/mm] ist obere Schranke von A [mm]\gdw[/mm]  q [mm]\in \IQ[/mm] und q
> [mm]\ge[/mm] 0.
>  Mit B=A war nicht geraten, denn mit der unteren Schranke
> hab ich das quasi auch so gedacht, aber das war ja nicht
> gefragt!
>  Also wäre für [mm]A=B=\{-\bruch{1}{n}\}[/mm] die Behauptung
> erfüllt?!

Ja!

Gruß,
Wolfgang

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Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Mi 21.11.2012
Autor: Lisa12

okay, vielen dank!
kann ich in dem 2. beispiel denn dann B wählen z.B.
B= A [mm] \cup \{\wurzel{2}\} [/mm]
oder ist das mit meiner Beispielmenge A unmöglich?

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Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mi 21.11.2012
Autor: fred97


> okay, vielen dank!
> kann ich in dem 2. beispiel denn dann B wählen z.B.
> B= A [mm]\cup \{\wurzel{2}\}[/mm]

Nein. Es soll doch B eine Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] sein !

FRED

>  oder ist das mit meiner
> Beispielmenge A unmöglich?


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Beschränktheit bei Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Mi 21.11.2012
Autor: Lisa12

ahjaa, stimmt!
oh mann, dann muss ich mir was anderes überlegen! :(

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Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Do 22.11.2012
Autor: Lisa12

Also für
A ist nach oben beschränkt in B [mm] sup_{\IQ}A [/mm] exsistiert und [mm] sup_{B}A [/mm] existiert nicht und der umgekehrte Fall, finde ich keine Beispiele ... Hat jemand einen Tipp?

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Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Do 22.11.2012
Autor: fred97


> Also für
> A ist nach oben beschränkt in B [mm]sup_{\IQ}A[/mm] exsistiert und
> [mm]sup_{B}A[/mm] existiert nicht und der umgekehrte Fall, finde ich
> keine Beispiele ... Hat jemand einen Tipp?

Jetzt hab ich aber genug !

Was hab ich Dir als Tipp gegeben:

"Nimm z. B. mal $ [mm] A=\{ -\bruch{1}{n}: n \in \IN\} [/mm] $

Jede obere Schranke von A ist $ [mm] \ge [/mm] $ 0. Warum ? Nenn mal eine.

Nun bastle eine Menge B, die A umfasst  und die keine obere Schranke von A enthält.

Es ist einfacher, als Du vielleicht denkst."

So, was kam dann ?

Du hast dann begründet, warum jede obere Schranke von A [mm] \ge [/mm] 0 ist.

Das war o.K.

Dann hast Du den Vorschlag B=A gemacht. Was hab ich dazu gesagt : "das passt".

Warum jammerst Du noch rum und willst Tipps ?

FRED



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Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Do 22.11.2012
Autor: Lisa12

Sorry, aber das war die Aufgabe:
A ist nach oben beschränkt in [mm] \IQ [/mm] aber nicht in B!
Jetzt soll ich aber andere Beispiele finden für:
A ist nach oben beschränkt in B, [mm] sup_{IQ}A [/mm] exisitiert aber [mm] sup_{B}A [/mm] exisitiert nicht!
Sorry, ich bin halt kein Mathegenie ... vielleicht sollt ich es einfach lassen!

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Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Do 22.11.2012
Autor: Helbig

Hallo Lisa12,

>  Jetzt soll ich aber andere Beispiele finden für:
>  A ist nach oben beschränkt in B, [mm]sup_{IQ}A[/mm] exisitiert
> aber [mm]sup_{B}A[/mm] exisitiert nicht!

Nimm irgendeine nach oben beschränkte Menge $A$, deren Supremum in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt.
Und für $B$ nimmst Du eine Menge, die irgendeine obere Schranke von $A$ enthält aber nicht das Supremum von $A$.

OK?

liebe Grüße,
Wolfgang

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Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 22.11.2012
Autor: Lisa12

Vielleicht verstehe ich das alles noch nicht! Hab mal versucht zu vereinfachen:
sei A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq \IN [/mm]
dann wäre bei A [mm] =\{1,2,3,4\} B=\{1,2,3,4,5\} [/mm] doch [mm] sup_{B}A [/mm] = 4 oder?? Aber es wäre auch [mm] sup_{\IQ}A [/mm] = 4


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Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Do 22.11.2012
Autor: Helbig


> Vielleicht verstehe ich das alles noch nicht! Hab mal
> versucht zu vereinfachen:
>  sei A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq \IN[/mm]
>  dann wäre bei A
> [mm]=\{1,2,3,4\} B=\{1,2,3,4,5\}[/mm] doch [mm]sup_{B}A[/mm] = 4 oder?? Aber
> es wäre auch [mm]sup_{\IQ}A[/mm] = 4

Stimmt. Dies ist kein passendes Beispiel.

Warum soll $A$ eine Teilmenge von $B$ sein?

Nimm einfach $A=[0; 1)$ und [mm] $B=\{2\}\,.$ [/mm]

Gruß,
Wolfgang


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Do 22.11.2012
Autor: Lisa12

A soll laut Aufgabenstellung Teilmenge sein!
Original Aufgabe: A [mm] \supseteq [/mm] B [mm] \supseteq \IQ [/mm]
... da liegt ja das Problem :-(

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 Do 22.11.2012
Autor: Lisa12

ähm ich meine andersrum natürlich!!
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq \IQ [/mm]

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Do 22.11.2012
Autor: Helbig


> A soll laut Aufgabenstellung Teilmenge sein!
> Original Aufgabe: A [mm]\supseteq[/mm] B [mm]\supseteq \IQ[/mm]
>  ... da liegt
> ja das Problem :-(

Da ist A aber keine Teilmenge sondern enthält $B$ und [mm] $\IQ\.$ [/mm]

Wenn $A$ eine Teilmenge von $B$ sein soll, nimm

$A=[0; 1)$ und $B= [mm] A\cup \{2\}\,.$ [/mm]

Wenn [mm] $A\subseteq [/mm] B [mm] \subseteq \IQ$ [/mm] sein soll, nimm

$A=[0; 1) [mm] \cap \IQ$ [/mm] und $B$ wie oben.

Gruß,
Wolfgang


Bezug
                                        
Bezug
Beschränktheit bei Teilmengen: {-1/n} --> {-1/n: n \in \IN}
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Do 22.11.2012
Autor: Marcel

Notation:

> [mm]A=B=\{-\bruch{1}{n}\}[/mm]

[mm] $A=B=\{-1/n\}$ [/mm] würde man als einelementige Menge mit dem einzigen
Element $-1/n [mm] \in \{-1/n\}$ [/mm] auffassen, wobei [mm] $n\,$ [/mm] fest (aber sonst beliebig -
je nach Vorgabe).

Du meinst [mm] $\{-1/n: n \in \IN\}=\bigcup_{n \in \IN}\{-1/n\}\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
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