Beschränktheit der Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Beweis:
Gegeben sei eine beliebige Cauchyfolge [mm] (a_{n}). [/mm]
Dann gibt es eine natürliche Zahl N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n-a_m|<1 [/mm] für alle m, n [mm] \geq [/mm] N.
Unter Benutzung der Dreiecksungleichung hat man
[mm] |a_n|=|a_n-a_m+a_m|\leq|a_n-a_m|+|a_m|<1+|a_m| [/mm] für alle m, n [mm] \geq [/mm] N.
Insbesondere gilt deswegen [mm] |a_n|=|a_n-a_N+a_N|\leq|a_n-a_N|+|a_N|<1+|a_N| [/mm] für alle n [mm] \geq [/mm] N.
Man setze [mm] N_{max} [/mm] = [mm] max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\}.
[/mm]
Dann folgt [mm] |a_n| \le N_{max} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo,
ich versuche grade den Beweis der Beschränktheit einer Cauchy-Folge zu verstehe. Soweit komme ich klar, ich verstehe nur die letzte Zeile nicht. Wieso folgt denn, dass [mm] |a_{n}| [/mm] kleiner-gleich [mm] N_{max} [/mm] sein muss? Diesen Zusammenhang sehe ich leider nicht. Kann mir das bitte jemand näher erläutern?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lustique |
> Beweis:
> Gegeben sei eine beliebige Cauchyfolge [mm](a_{n}).[/mm]
> Dann gibt es eine natürliche Zahl N [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]|a_n-a_m|<1[/mm] für alle m, n [mm]\geq[/mm] N.
> Unter Benutzung der Dreiecksungleichung hat man
> [mm]|a_n|=|a_n-a_m+a_m|\leq|a_n-a_m|+|a_m|<1+|a_m|[/mm] für alle
> m, n [mm]\geq[/mm] N.
> Insbesondere gilt deswegen
> [mm]|a_n|=|a_n-a_N+a_N|\leq|a_n-a_N|+|a_N|<1+|a_N|[/mm] für alle n
> [mm]\geq[/mm] N.
> Man setze [mm]N_{max}[/mm] =
> [mm]max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\}.[/mm]
> Dann folgt [mm]|a_n| \le N_{max}[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Hallo,
> ich versuche grade den Beweis der Beschränktheit einer
> Cauchy-Folge zu verstehe. Soweit komme ich klar, ich
> verstehe nur die letzte Zeile nicht. Wieso folgt denn, dass
> [mm]|a_{n}|[/mm] kleiner-gleich [mm]N_{max}[/mm] sein muss? Diesen
> Zusammenhang sehe ich leider nicht. Kann mir das bitte
> jemand näher erläutern?
>
> Grüße
Die letzte Zeile folgt direkt aus der Ungleichung [mm] $|a_n|=|a_n-a_N+a_N|\leqslant|a_n-a_N|+|a_N|<1+|a_N|$ [/mm] für alle $n [mm] \geqslant [/mm] N$, also [mm] $|a_n|<1+|a_N|\leqslant N_\text{max}$, [/mm] da ja [mm] $N_\text{max} [/mm] = [mm] \max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\}$. [/mm] Aber ich denke mal, dass es nicht das ist, was dir hier die Probleme bereitet, deswegen habe ich es mal nur als Mitteilung gepostet. Ich verstehe auch nicht so ganz, was die 1 da soll, ehrlich gesagt. Normalerweise legt man sich da nicht auf eine feste Zahl fest, sondern sagt das für Cauchy-Folgen für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] Folgendes gilt: [mm] $\left\lvert a_n-a_m\right\rvert [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n,m\geqslant n_0$ [/mm] für ein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$. [/mm] Sonst hast du ja auch keine Konvergenz, wenn du nur [mm] $|a_n-a_m|<1$ [/mm] voraussetzt. So könnte ja auch immer [mm] $|a_n-a_m|=0,9$ [/mm] gelten, und die Folge wäre dann bestimmt nicht konvergent.
Sollte ich hier Mist erzählt haben, kann mich übrigens jeder hier gerne korrigieren. :D
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:26 So 11.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Danke für deine Antwort.
Die 1 habe ich schon mehrmals bei diesem Beweis gelesen, sowohl bei mir im Skript als auch in einem Buch und im Internet. Ich denke, damit soll nur ausgedruckt werden, dass die Differenz der beiden Folgen fast Null ist. Sicherlich hätte man auch etwas kleineres als 1 oder gleich [mm] \varepsilon [/mm] nehmen könnten, aber mit der 1 lässt es sich wohl besser rechnen. Kann aber auch sein das ich damit grade total daneben liege ;D
Nun noch eine, hoffentlich, letzte Frage: Wie komme ich eigentlich auf die Werte in [mm] N_{max}? [/mm] Sind das alle Werte, die [mm] a_{n} [/mm] annehmen kann? Die letzten zwei Elemente verwirren mich ein bisschen: [mm] |a_{N-1}|,1+|a_N|. [/mm] Wie kommt da der Sprung vom Vorletzten auf das letzte Element zustande?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Mo 12.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweis:
> Gegeben sei eine beliebige Cauchyfolge [mm](a_{n}).[/mm]
> Dann gibt es eine natürliche Zahl N [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]|a_n-a_m|<1[/mm] für alle m, n [mm]\geq[/mm] N.
> Unter Benutzung der Dreiecksungleichung hat man
> [mm]|a_n|=|a_n-a_m+a_m|\leq|a_n-a_m|+|a_m|<1+|a_m|[/mm] für alle
> m, n [mm]\geq[/mm] N.
> Insbesondere gilt deswegen
> [mm]|a_n|=|a_n-a_N+a_N|\leq|a_n-a_N|+|a_N|<1+|a_N|[/mm] für alle n
> [mm]\geq[/mm] N.
> Man setze [mm]N_{max}[/mm] =
> [mm]max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\}.[/mm]
> Dann folgt [mm]|a_n| \le N_{max}[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Hallo,
> ich versuche grade den Beweis der Beschränktheit einer
> Cauchy-Folge zu verstehe. Soweit komme ich klar, ich
> verstehe nur die letzte Zeile nicht. Wieso folgt denn, dass
> [mm]|a_{n}|[/mm] kleiner-gleich [mm]N_{max}[/mm] sein muss? Diesen
> Zusammenhang sehe ich leider nicht. Kann mir das bitte
> jemand näher erläutern?
Du hast doch bereits, dass
[mm]|a_n|<1+|a_N|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
für alle $n\ge N$ .
Das heisst, dass ab dem N-ten Glied alle $a_n$ durch $1+|a_N|$ nach oben beschränkt sind. Es könnten also höchstens die endlich vielen Glieder mit $n<N$ größer oder gleich $1+|a_N|$ sein. Wenn das der Fall ist, so wählst du $N_{\text{max}$ als das größte dieser Folgenglieder mit $n<N$. Ist das hingegen nicht der Fall, so wählst du $N_{\text{max}}=1+|a_N|$.
Zusammengesfasst: [mm]N_{\text{max}} = \max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\}[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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