Beschränktheit einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass [mm] (a_n+1 [/mm] − [mm] a_n)_{n\in N} [/mm] eine Nullfolge ist.
Zeigen Sie, dass für alle α > 1 die Folge [mm] \left(\frac{a_n}{n^\alpha}\right) [/mm] eine Nullfolge ist. |
Mein Ansatz dazu:
[mm] \frac{a_n}{n^\alpha} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^\alpha} \cdot a_n
[/mm]
[mm] (n^\alpha) [/mm] ist eine Nullfolge, da [mm] \alpha [/mm] > 1.
Nun muss ich also noch zeigen, dass [mm] a_n [/mm] beschränkt ist. Intuitiv macht das natürlich Sinn, da n.V. die "Ableitung" der Folge gegen null strebt. Aber wie schreibe ich das korrekt auf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass [mm](a_n+1[/mm] −
> [mm]a_n)_{n\in N}[/mm] eine Nullfolge ist.
> Zeigen Sie, dass für alle α > 1 die Folge
> [mm]\left(\frac{a_n}{n^\alpha}\right)[/mm] eine Nullfolge ist.
> Mein Ansatz dazu:
> [mm]\frac{a_n}{n^\alpha}[/mm] = [mm]\frac{1}{n^\alpha} \cdot a_n[/mm]
>
> [mm](n^\alpha)[/mm] ist eine Nullfolge, da [mm]\alpha[/mm] > 1.
Nein. [mm] (n^2) [/mm] ist z.B. keine Nullfolge
> Nun muss ich also noch zeigen, dass [mm]a_n[/mm] beschränkt ist.
> Intuitiv macht das natürlich Sinn, da n.V. die "Ableitung"
> der Folge
Was meinst Du damit ??
FRED
> gegen null strebt. Aber wie schreibe ich das
> korrekt auf?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > [mm](n^\alpha)[/mm] ist eine Nullfolge, da [mm]\alpha[/mm] > 1.
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> Nein. [mm](n^2)[/mm] ist z.B. keine Nullfolge
Sorry, ich meinte natürlich [mm]\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)[/mm]. Denn wenn ein Faktor des o.g. Produktes eine Nullfolge ist, ist nach unserem Skript das Produkt genau dann eine Nullfolge, wenn der andere Faktor beschränkt ist.
> > Nun muss ich also noch zeigen, dass [mm]a_n[/mm] beschränkt
> ist.
> > Intuitiv macht das natürlich Sinn, da n.V. die "Ableitung"
> > der Folge
>
>
> Was meinst Du damit ??
Quasi genau das, was in der Vorraussetzung steht! [mm] (a_n+1 [/mm] − [mm] a_n) [/mm] wird beliebig klein, d.h. die Folgenglieder verändern sich immer weniger.
[mm] (a_n+1 [/mm] − [mm] a_n) \to [/mm] 0 gilt ja schon, aber wie zeige ich ausgehend davon, dass [mm] (a_n) [/mm] beschränkt ist?
Schonmal vielen Dank für deine Mühe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > [mm](n^\alpha)[/mm] ist eine Nullfolge, da [mm]\alpha[/mm] > 1.
> >
> > Nein. [mm](n^2)[/mm] ist z.B. keine Nullfolge
>
> Sorry, ich meinte natürlich
> [mm]\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)[/mm]. Denn wenn ein Faktor des
> o.g. Produktes eine Nullfolge ist, ist nach unserem Skript
> das Produkt genau dann eine Nullfolge, wenn der andere
> Faktor beschränkt ist.
>
> > > Nun muss ich also noch zeigen, dass [mm]a_n[/mm] beschränkt
> > ist.
> > > Intuitiv macht das natürlich Sinn, da n.V. die "Ableitung"
> > > der Folge
> >
> >
> > Was meinst Du damit ??
>
> Quasi genau das, was in der Vorraussetzung steht! [mm](a_n+1[/mm]
> − [mm]a_n)[/mm] wird beliebig klein,
Du meinst sicher [mm] $a_{n+1}-a_n\,,$ [/mm] denn [mm] $a_n+1-a_n=1\,.$
[/mm]
> d.h. die Folgenglieder
> verändern sich immer weniger.
Nein, da steht nur, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender
Folgeglieder immer kleiner wird. Eine solche Folge, die nicht konvergiert, ist
leicht anzugeben:
Die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k\,,$ [/mm] also einfach die Folge
[mm] $$(s_n)_n \;\;\text{ definiert durch }\;\;s_n:=\sum_{k=1}^n [/mm] 1/k$$
divergiert - und zwar bestimmt gegen [mm] $\infty$. [/mm] Insbesondere ist diese
Reihe unbeschränkt. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender
Folgeglieder wird aber immer kleiner:
[mm] $$s_{n+1}-s_n=1/(n+1)\,.$$
[/mm]
Freds Frage war übrigens sicher darauf ausgerichtet, was Du mit "der
Ableitung einer Folge" meinst!
> [mm](a_n+1[/mm] − [mm]a_n) \to[/mm] 0 gilt ja schon, aber wie zeige ich
> ausgehend davon, dass [mm](a_n)[/mm] beschränkt ist?
Offenbar wirst Du die Beschränktheit von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nicht beweisen
können!
Vielleicht geht's aber so: Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Es existiert ein [mm] $N\,$ [/mm] so,
dass
[mm] $$|a_{k+1}-a_k| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
für alle $k [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Es folgt wegen [mm] $a_n=a_1+\big(\sum_{k=2}^n (a_k-a_{k-1})\big)$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$|a_n|/n^\alpha \le \left(|a_1|+\sum_{k=2}^{N} |a_{k}-a_{k-1}|\right)/n^{\alpha}+\left(\sum_{k=N+1}^n |a_{k}-a_{k-1}|\right)/n^\alpha$$
[/mm]
Daraus sollte man die Behauptung folgern können!
Gruß,
Marcel
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Sorry, ich meinte natürlich [mm] \left(\frac{1}{n^\alpha}\right) [/mm] ist für [mm] \alpha [/mm] > 1 eine Nullfolge.
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