Best. der Lösungsmenge < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Achilles |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung in [mm] \IR [/mm] |
Hallo zusammen,
Kann mit wohl jemand erklären wie ich folgende Ungleichung lösen muss?
[mm] \bruch{x}{|x+4|}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
Steh echt total auf em Schlauch.
Danke schonmal in voraus.
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Hallo!
> Hallo zusammen,
> Kann mit wohl jemand erklären wie ich folgende Ungleichung
> lösen muss?
>
> [mm]\bruch{x}{|x+4|}<\bruch{1}{x-1}[/mm]
>
> Steh echt total auf em Schlauch.
Ohne Fallunterscheidung wirst du da nicht auskommen. Die Kunst, diese UnGleichung zu lösen, besteht nun darin, möglichst wenige Fallunterscheidungen durchzuführen.
Zunächst können wir jedoch zwei Zahlen ausschließen: Für x=-4 und x = 1 sind die Terme in der Ungleichung nicht definiert.
Ziel soll es im Folgenden sein, die Brüche erstmal auf eine "Zeile" zu bringen. Wir wollen also keine Brüche mehr in unserer Ungleichung haben.
Zunächst kannst du auf beiden Seiten mal |x+4| rechnen. Das Relationszeichen "<" kehrt sich dabei nicht um, weil |x+4| ja garantiert positiv ist:
[mm]x<\bruch{|x+4|}{x-1}[/mm]
Nun rechnen wir auf beiden Seiten mal (x-1). Ab hier müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen:
Fall 1: x-1 > 0 [mm] \gdw [/mm] x > 1 [mm] \to [/mm] dann dreht sich das Relationszeichen "<" weiter nicht um und es steht da:
[mm]x*(x-1)<|x+4|[/mm]
Nun muss eine Fallunterscheidung für x > -4 oder x < -4 folgen, um den Betrag aufzulösen. Probier's!
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Wieso machst du die erste fallunterscheidung nach
[mm] x<\bruch{|x+4|}{x-1}? [/mm] und die 2. Fallunterscheidung nach
x*(x-1)<|x+4|?
Muss man das nicht bei der gleichen Ungleichung machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mo 16.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wieso machst du die erste fallunterscheidung nach
>
> [mm]x<\bruch{|x+4|}{x-1}?[/mm] und die 2. Fallunterscheidung nach
>
> x*(x-1)<|x+4|?
>
> Muss man das nicht bei der gleichen Ungleichung machen?
Nicht zwingend. Die Fallunterscheidungen musst du in dem Moment machen, wenn du durch einen Term Teils/mit einem Term multiplizierst, der sowohl grösser als auch Kleiner Null werden kann.
Ich würde hier aber mit der Betragsfunktion anfangen.
Also:
[mm] \bruch{x}{|x+4|}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
Und jetzt die Fallunterscheidung:
[mm] x+4\ge0\Rightarrow x\ge-4 [/mm] und [mm] x+4<0\Rightarrow-4>x
[/mm]
Also Fall 1: [mm] x\ge-4
[/mm]
[mm] \bruch{x}{|x+4|}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x}{x+4}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
Und jetzt die 2.te Fallunterscheidung:
Entweder: $ x-1<0 [mm] \Rightarrow [/mm] x>1 $ (Das schliesst [mm] x\ge-4 [/mm] ein)
oder: ($ x-1<0 [mm] \Rightarrow [/mm] x<1 $ und [mm] x\ge-4)
[/mm]
Also:
Fall 1.1: $ x>1 $ ( damit auch [mm] x\ge-4 [/mm] )
[mm] \bruch{x}{x+4}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] x(x-1)<x+4 $
[mm] \gdw x^{2}-x
[mm] \gdw x^{2}-2x-4<0
[/mm]
...
Fall 1.2: $ x>1 $ und [mm] x\ge-4 [/mm]
[mm] \bruch{x}{x+4}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw x(x-1)\red{>}x+4
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}-2x-4>0
[/mm]
Fall 2: $ x<-4 $
[mm] \bruch{x}{|x+4|}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x}{-(x+4)}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw -\bruch{x}{x+4}<\bruch{1}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw -x\red{>}\bruch{x+4}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw -x(x-1)\red{<}x+4
[/mm]
[mm] \gdw -x^{2}+x
[mm] \gdw -x^{2}<4
[/mm]
...
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Jetzt is die Sache klar.
Vielen Dank für die Hilfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Wie lautet denn jetzt die endgültige Lösungsmenge?
Ich hab jetzt einfach nur mit der pq-Formel das ganze ausgerechnet aber wie schreib ich das ganze jetzt als Endergebnis hin?
Also im Fall 1.1 hab ich raus [mm] 1\pm\wurzel{5}<0
[/mm]
und im Fall 1.2 hab ich raus [mm] 1\pm\wurzel{5}>0
[/mm]
Im Fall 2 hab ich x=2 oder x=-2 raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mo 16.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
In Fall 1.1 war ja als Voraussetzung
[mm] x\ge-4 [/mm]
und als Lösungsmenge [mm] 1-\wurzel{5}
Da aus [mm] 1-\wurzel{5}
ist hier die Teillösungsmenge [mm] \IL_{1.1}=\{(1-\wurzel{5};1+\wurzel{5})\}
[/mm]
In Fall 1.2 war ja als Voraussetzung
[mm] x\ge-4 [/mm] und x<1
und als Lösungsmenge [mm] 1-\wurzel{5}
Da aus [mm] 1-\wurzel{5}
Fall 1.2 hat die Teillösungsmenge [mm] \IL_{1.2}=\{(1-\wurzel{5};1)\}
[/mm]
In Fall 2 hast du die verrechnet: Fall 2 hat keine Lösung, also [mm] \IL_{2}=\emptyset
[/mm]
Also ist die Gesamtlösung [mm] \IL=\IL_{1.1}\cup\IL_{1.2}\cup\IL_{2}=...
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Achso ok.
Vielen Dank für den Hinweis.
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