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| Aufgabe | | Ein Fußballstadion fasst 60000 Plätze. Erfahrungsgemäß werden 10% der Vorbestellungen storniert. Wie viele Vorbestellungen darf der Veranstalter bestätigen, um mit 99% Wahrscheinlichkeit nicht in Verlegenheit zu kommen? |
Hallo,
ich habe hier überhaupt keinen Ansatz. Kann mir jemand helfen?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Ein Fußballstadion fasst 60000 Plätze. Erfahrungsgemäß
> werden 10% der Vorbestellungen storniert. Wie viele
> Vorbestellungen darf der Veranstalter bestätigen, um mit
> 99% Wahrscheinlichkeit nicht in Verlegenheit zu kommen?
> Hallo,
>
> ich habe hier überhaupt keinen Ansatz. Kann mir jemand
> helfen?
>
Hast du denn schon unsere Forenregeln durchgelesen (insbesondere Punkt 8)? Es ist ja so, dass hier keine fertigen Lösungen gegeben werden, sondern die Aufgaben werden im Dialog bearbeitet, insbesondere erwarten wir dazu Eigeninitiative auch in Form eigener Ansätze. Und auf der anderen Seite ist das jetzt keine so ungewöhnliche Aufgabe, dass man nicht mit dem zur Verfügung stehenden Stoff irgendeine Überlegung anstellen könnte. Ich würde dich also bitten, dies in Zukunft zu tun und mit dieser Überlegung dann deine Frage zu starten. So weiß man jetzt nicht einmal, was vorausgesetzt werden darf an Stoff.
Vermutlich habt ihr die Binomialverteilung durchgenommen und eventuell deren Approximation durch eine geeignete Normalverteilung. Gehen wir mal von einer Binomialverteilung aus, dann mache dir klar, welchen Parameter du nicht kennst. Die Frage lässt sich mit der Gleichung
[mm] P(X\le{60000})\ge{0.99}
[/mm]
modellieren. Wie daraus jetzt die Lösung ermittelt werden soll, das könnenn wir dir nur sagen, wenn du uns genau mitteilst, welchen Stoff ihr durchgenommen habt und welche Rechenhilfsmittel zur Verfügung stehen.
Gruß, Diophant
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Wir sollen hier wahrscheinlich zuerst entscheiden, ob wir die Hypergeometrische Verteilung, die Binomialverteilung oder die Normalverteilung verwenden müssen; diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen hatten wir auch Ende des letzten Schuljahres durchgenommen.
Ganz ansatzlos war ich ehrlicherweise nicht. Ich hatte mir auch P(X [mm] \le [/mm] 60000) überlegt, da nicht mehr als 60000 Vorbestellungen bestätigt werden können, oder? Gesucht wäre dann eigentlich ja n (was der Anzahl der Versuche entsprechen würde), da man wissen möchte, mit wie vielen Versuchen man mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% keine stornierten Vorbestellungen erhält, oder?
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Hallo,
> Wir sollen hier wahrscheinlich zuerst entscheiden, ob wir
> die Hypergeometrische Verteilung, die Binomialverteilung
> oder die Normalverteilung verwenden müssen; diese
> Wahrscheinlichkeitsverteilungen hatten wir auch Ende des
> letzten Schuljahres durchgenommen.
>
> Ganz ansatzlos war ich ehrlicherweise nicht. Ich hatte mir
> auch P(X [mm]\le[/mm] 60000) überlegt, da nicht mehr als 60000
> Vorbestellungen bestätigt werden können, oder? Gesucht
> wäre dann eigentlich ja n (was der Anzahl der Versuche
> entsprechen würde), da man wissen möchte, mit wie vielen
> Versuchen man mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% keine
> stornierten Vorbestellungen erhält, oder?
Genau so ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und mit Hilfe eines GTR löst man das halt mittels Tabelle. Steht so ein Gerät zur Verfügung?
Gruß, Diophant
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Nein, leider nicht. Kann ich das auch mithilfe der Normalverteilung berechnen?
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Hallo,
> Nein, leider nicht. Kann ich das auch mithilfe der
> Normalverteilung berechnen?
Dann musst du es sogar genau so machen. Also 0.99 in der Tabelle heraussuchen, mit Hilfe der transformierten standardnormalverteilten ZV eine Gleichung aufstellen, in der n die Unbekannte ist und diese dann lösen. Du solltest dazu noch Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung nachschlagen, sofern sie dir nicht geläufig sind.
Gruß, Diophant
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Okay.
Ist dieser Ansatz richtig?
P(X [mm] \le [/mm] 60000) = Φ [mm] (\bruch{60000-n*0,99+0,5}{\wurzel{n*0,99*(1-0,99)}})
[/mm]
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Hallo,
> Okay.
>
> Ist dieser Ansatz richtig?
>
> P(X [mm]\le[/mm] 60000) = Φ
> [mm](\bruch{60000-n*0,99+0,5}{\wurzel{n*0,99*(1-0,99)}})[/mm]
Nein, er ist völlig sinnlos. [mm] P(X\le{60000})=0.99 [/mm] darf jetzt als bekannt vorausgesetzt werden. Den Wert der Phi-Funktion kennst du also, daher macht die obige Gleichung keinen Sinn.
Die Stetigkeitskorrektur braucht es hier IMO auch nicht. Der Rest des Terms (in dem es jedoch überall an Stelle von 0.99 richtigerweise 0.9 heißen müsste!) ist dann ja genau die transformierte Zufallsvariable, und deren Wert kannst du aus der Tabelle der Standardnormalverteilung näherungsweise entnehmen, um eine sinnvolle Gleichung zu erhalten.
Gruß, Diophant
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Wenn ich richtig verstanden habe, muss ich nur den Wert von P(X [mm] \le [/mm] 60000) der Tabelle für Normalverteilungen entnehmen.
Das verstehe ich aber leider nicht. Mir ist klar, dass ich den Wert der Phi-Funktion durch die angegebene Wahrscheinlichkeit 0,99 bereits habe. Muss ich jetzt den Wert von P(X [mm] \le [/mm] 60000) der Tabelle entnehmen, um die Komponente n herauszubekommen? Oder wie kann ich mir das vorstellen?
Denn ich weiß doch:
P(X [mm] \le [/mm] 60000) = F(n;0,99;60000) [mm] \approx [/mm] 0,99 oder?
Aber für mich macht das keinen Sinn... Vielleicht weil ich noch nicht so richtig verstanden habe, wieso
P(X [mm] \le 60000)\ge [/mm] 0,99 ist.
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Hallo,
> Wenn ich richtig verstanden habe, muss ich nur den Wert von
> P(X [mm]\le[/mm] 60000) der Tabelle für Normalverteilungen
> entnehmen.
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> Das verstehe ich aber leider nicht. Mir ist klar, dass ich
> den Wert der Phi-Funktion durch die angegebene
> Wahrscheinlichkeit 0,99 bereits habe. Muss ich jetzt den
> Wert von P(X [mm]\le[/mm] 60000) der Tabelle entnehmen, um die
> Komponente n herauszubekommen? Oder wie kann ich mir das
> vorstellen?
>
> Denn ich weiß doch:
> P(X [mm]\le[/mm] 60000) = F(n;0,99;60000) [mm]\approx[/mm] 0,99 oder?
>
Du musst in der Tabelle nachschlagen, zu welchem Wert der standardnormalverteilten Zufallsvariablen
[mm] Z=\bruch{X-0.9*n}{\wurzel{0.9*n*0.1}}
[/mm]
die Wahrscheinlichkeit 0.99 gehört. Diesen Wert setzt du oben für Z ein, was für X einzusetzen ist, ist dir ja klar (da du es schon korrekt getan hast). Das obige ergibt dann eine Bestimmungsgleichung für n, die man dann leicht löst.
> Aber für mich macht das keinen Sinn... Vielleicht weil ich
> noch nicht so richtig verstanden habe, wieso
> P(X 0,99 ist.
Hm, das hattest du aber oben als eigenen Ansatz bestätigt. Du solltest dir schon vor dem Posten einer Frage klarmachen, was du weißt und was nicht...
Die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht zu einer Überbuchung kommt, soll ja mindestens 99% sein, daher kommt die obige Ungleichung. Für die Approximation durch eine Normalverteilung machen wir jedoch eine Gleichung daraus, denn es dürfte klar sein: mit steigender Anzahl bestätigter Buchungen fällt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es nicht zu einer Überbuchung kommt. Da muss man halt einfach auf zwei Ebenen mitdenken: auf der mathematischen, aber eben auch auf der sachlogischen Ebene!
Gruß, Diophant
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Alles klar.
Ich habe als Gleichung nun folgende:
[mm] 2,33=\bruch{60000-n*0,99+0,5}{\wurzel{n*0,99*0,01}}
[/mm]
soweit richtig? Und das dann nach n auflösen oder?
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Hallo,
> Alles klar.
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> Ich habe als Gleichung nun folgende:
>
> [mm]2,33=\bruch{60000-n*0,99+0,5}{\wurzel{n*0,99*0,01}}[/mm]
>
> soweit richtig? Und das dann nach n auflösen oder?
Nein, woher kommen denn da jetzt die 0.99 als Vorfaktor, das ist ja völliger Käse!
Der Erwartungswert n*p der zugehörigen Binomialverteilung enthält die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Vorbesteller seinen Platz auch tatsächlich in Anspruch nimmt. Die ist p=0.9, das hattest ndu vorher richtig, und da muss man so langsam dann schon auch ein Mangel an der erforderlichen Gründlichkeit konstatieren.
Ein drittes Mal versuche ich mich an der Problematik der Stetigkeistkorrektur (darauf bist du überhaupt nicht eingegangen): müsst ihr das unbedingt machen? Ich halte das (also die +0.5) in diesem Fall sogar streng genommen für falsch.
Gruß, Diophant
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Achso, das ist mit der Stetigkeitskorrektur gemeint. Ich weiß nicht, so habe ich zumindest die Formel aus dem Buch entnommen. Wieso sollte das hier falsch sein?
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Hallo,
> Achso, das ist mit der Stetigkeitskorrektur gemeint. Ich
> weiß nicht, so habe ich zumindest die Formel aus dem Buch
> entnommen. Wieso sollte das hier falsch sein?
Das führt hier ein bisschen weit. Inwiefern bist du mit der Integralrechnung vertraut? Die [mm] \Phi-Funktion [/mm] ist ja nichts anderes als eine Integralfunktion, deren Integrand die Dichte der Standardnormalverteilung ist. Wenn man eine diskrete Summe durch ein Integral annähert, dann hat man das Problem, dass man die Anzahl der Summanden nicht als Länge des Integrationsintervalls nehmen kann (wenn du vom 10. bis zum 20. eines Monats im Urlaub bist, wie viele Tage bist du dann weg?). Aus diesem Grund führt man die Stetigkeitskorrektur dort durch, wo dieses Problem auftritt. Das ist hier jedoch nicht der Fall, da es direkt um einen Wert der Verteilungsfunktion geht. Machen muss man es jedoch bei Wahrscheinlichkeiten der Form
[mm] P(a\le{X}\le{b}).
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, macht es hier sogar einen Unterschied von einem Ticket, je nachdem, ob man es berücksichtigt oder nicht.
Rechne jetzt besser deine Aufgabe zu Ende, glaube nicht an Formeln sondern versuche zu verstehen, wie diese zustande kommen!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Sa 30.08.2014 | | Autor: | micha20000 |
Wieso steht bei der Formel im Nenner *0,01. Wenn ich 1-0,9 rechne, dann kommt doch 0,1 raus, oder mache ich bei der Standardabweichung etwas falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Wieso steht bei der Formel im Nenner *0,01. Wenn ich 1-0,9
> rechne, dann kommt doch 0,1 raus, oder mache ich bei der
> Standardabweichung etwas falsch?
Entschuldige bitte: das war mein Fehler. Ich bessere es unverzüglich aus!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Micha,
ich möchte jetzt auch nicht den Regel-Papst spielen, aber in Deinem eigenen
Interesse:
Wähle in Zukunft einen zur Aufgabe passenden Titel. "Anwendungsaufgabe"
ist genauso vielsagend wie "Aufgabe" - da kann man auch direkt drei
Pünktchen schreiben. Wenn man gar keine Idee hat, was da passen
könnte:
> Ein Fußballstadion fasst 60000 Plätze. Erfahrungsgemäß
> werden 10% der Vorbestellungen storniert. Wie viele
> Vorbestellungen darf der Veranstalter bestätigen, um mit
> 99% Wahrscheinlichkeit nicht in Verlegenheit zu kommen?
Vielleicht reicht es, wenn man hier Stichpunkte herausgreift:
"Bestätigung von Vorbestellungen im Fußballstadion"
Ideal wäre es natürlich, wenn man mathematische Stichpunkte erwähnt
(z.B. "Frage nach der Art der Verteilung bei ...").
Auf jeden Fall, wie gesagt, etwas passendere Titel helfen potentuellen
Antwortgebern dabei, auf einen Blick zu erahnen, um was es geht. Zum
anderen helfen sie aber auch Dir dabei, Dich in Deinen Threads später
einmal zurecht zu finden!
Es ist also eine win-win-Situation! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> Vielleicht reicht es, wenn man hier Stichpunkte
> herausgreift:
> "Bestätitgung von Vorbestellungen im Fußballstadion"
Hm, das ist aber zu lang, das würde abgeschnitten werden. Bestätigung von Vorbestellungen könnte gehen.
EDIT: selbst das war zu lang. Bestätigung Vorbestellungen passte jedoch gerade noch.
@micha20000: ich werde den Titel mal noch ändern.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel,
>
> > Vielleicht reicht es, wenn man hier Stichpunkte
> > herausgreift:
> > "Bestätitgung von Vorbestellungen im Fußballstadion"
>
> Hm, das ist aber zu lang, das würde abgeschnitten werden.
> Bestätigung von Vorbestellungen könnte gehen.
>
> EDIT: selbst das war zu lang. Bestätigung Vorbestellungen
> passte jedoch gerade noch.
>
> @micha20000: ich werde den Titel mal noch ändern.
ich hatte die Titel leider im Bereich "Diskussionsthema" probiert. Auf jeden
Fall ist das nun doch ein wenig passender (ich wollte den Titel selbst nicht
ändern, da ich mir nicht ganz sicher war, was sinnvoller war: Ein Hinweis
auf die Frage der Verteilung, oder einfach nur Stichworte aus der Frage
herauszugreifen.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Sa 30.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> ich hatte die Titel leider im Bereich "Diskussionsthema"
> probiert. Auf jeden
> Fall ist das nun doch ein wenig passender (ich wollte den
> Titel selbst nicht
> ändern, da ich mir nicht ganz sicher war, was sinnvoller
> war: Ein Hinweis
> auf die Frage der Verteilung, oder einfach nur Stichworte
> aus der Frage
> herauszugreifen.)
Nun ja, die Überbuchung von irgendwelchen Plätzen, für die Tickets verkauft werden, darf ja getrost als Klassiker bezeichnet werden*. Insofern ist der jetzt gewählte Titel (der ja aus deinem Vorschlag resultiert) schon aussagekräftig, da die Frage ja unter Stochastik eingeordnet ist. 
@micha20000: das mit dem Klassiker merke dir auch, sofern du irgendwann mal eine Matheprüfung vor dir hast...
Gruß, Diophant
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